Teorema rango-nulidad

En matemáticas, el teorema rango–nulidad es un teorema en álgebra lineal, que dice que la dimensión del dominio de una transformación lineal es la suma de su rango (dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su kernel).

Teorema rango-nulidad. . La dimensión del núcleo de T más la dimensión de la imagen de T es igual a la dimensión del espacio vectorial de partida V.

TeoremaEditar

Sean   y   espacios vectoriales con   y sea   una transformación lineal entonces

 

donde

 

es decir

 

DemostraciónEditar

Sea   una transformación lineal. Supongamos que el conjunto   forma una base del núcleo de T, (ker T). Por el teorema de extensión de la base, podemos extender este conjunto para formar una base de V:  . Puesto que la dimensión del núcleo de T es m y la dimensión de V es m + n, solo se necesita demostrar que la dimensión de la imagen de T (im T) es n.

Veamos que el conjunto   es una base de im T. Para ello, se debe demostrar que genera a im T y que son linealmente independientes.

Sea v un vector arbitrario en V. Existen escalares únicos tales que:

 
 
 

Por lo tanto,   genera la im T.

Ahora, solo se necesita demostrar que el conjunto   es linealmente independiente. Podemos hacer esto demostrando que una combinación lineal de estos vectores es cero si y solo si el coeficiente de cada vector es cero. Sea:

 
 

Entonces, puesto que ui genera a ker T, existe un conjunto de escalares di tales que:

 

Pero, puesto que el conjunto   forma una base de V, todos los escalares ci, di deben ser cero. Por lo tanto,   es linealmente independiente y forma una base de im T. Esto prueba que la dimensión de im T es n, como se deseaba.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar