Topología final

En topología general, la topología final en un conjunto $X$ con respecto a una familia de aplicaciones de espacios topológicos en $X$ es la topología más fina en $X$ que hace que todas esas aplicaciones sean continuas.

La noción dual es la topología inicial, que para una familia dada de aplicaciones de un conjunto $X$ en espacios topológicos es la topología menos fina en $X$ que hace que esas aplicaciones sean continuas.

Definición

Topología final Sea $X$ un conjunto no vacío, $\{\left(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i}\right)\}_{i\in I}$ una familia arbitraria de espacios topológicos y ${\mathcal {F}}=\{f_{i}:Y_{i}\to X\,:i\in I\}$ una familia de aplicaciones. Se define la topología final en $X$ inducida por la familia de aplicaciones ${\mathcal {F}}$ como: ${\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}=\{U\subseteq X:f_{i}^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}_{i}\quad \forall i\in I\}$

Por construcción, ${\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}$ es la topología más fina en $X$ tal que $f_{i}:(Y_{i},{\mathcal {T}}_{i})\to (X,{\mathcal {T}}_{\mathcal {F}})$ es continua para todo $i\in I$ .

Los cerrados de ${\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}$ tienen una caracterización análoga: un subconjunto $C\subseteq X$ es cerrado de la topología final ${\mathcal {T}}_{\mathcal {F}}$ si y solo si $f_{i}^{-1}(C)\subseteq Y_{i}$ es cerrado de ${\mathcal {T}}_{i}$ para cada $i\in I$ .

Ejemplos

• La topología cociente es la topología final con respecto a la proyección canónica.

Referencias

• Brown, Ronald (June 2006). Topology and Groupoids. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8. 
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley Series in Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079.