Comparación de topologías

En topología y otras áreas de matemáticas, el conjunto de todas las topologías sobre un conjunto dado es un conjunto parcialmente ordenado. Esta relación de orden puede utilizarse para la comparación de topologías.

Definición

Dado un conjunto $X$ , una topología ${\mathcal {T}}$ sobre dicho conjunto es una familia de subconjuntos llamados abiertos que cumplen determinadas condiciones.

Sean ${\mathcal {T}}_{1}$ y ${\mathcal {T}}_{2}$ dos topologías sobre $X$ , entonces la topología ${\mathcal {T}}_{1}$ es más fina que ${\mathcal {T}}_{2}$ si ${\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$ . También, se dice que ${\mathcal {T}}_{2}$ es más gruesa o más débil que ${\mathcal {T}}_{1}$ . Si la relación de inclusión es estricta, se añade el término estrictamente. Si ${\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{1}$ , las topologías son equivalentes.

La relación de inclusión $\subseteq$ define una relación parcial de orden sobre el conjunto de posibles topologías sobre $X$ .

Ejemplos

La topología más fina sobre un conjunto dado es la topología discreta y la topología más gruesa es la trivial.
Sobre los reales, la topología usual es más débil que la topología de Sorgenfrey.^[1]^[2]
Sobre $\mathbb {R} ^{n}$ , las topologías inducidas por la distancia euclidiana, distancia del máximo y distancia de Manhattan son equivalentes.^[1]
Sobre $\mathbb {R}$ , la topología cofinita es más débil que la usual.^[3]

Propiedades

Sean ${\mathcal {T}}_{1}$ y ${\mathcal {T}}_{2}$ dos topologías sobre $X$ . Las siguientes condiciones son equivalentes:

${\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}$
La función identidad $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{2})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{1})$ es continua.
La función identidad $id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{1})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{2})$ es abierta.