Matriz traspuesta conjugada

En matemáticas, la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz $A$, es una matriz $A^{\dagger }$(también denotada como $A^{*}$, o como $A^{H}$) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.

El traspuesto conjugado de una matriz $A=(a_{ij})\in \mathbb {C}$ es definido como $A^{*}=({\bar {a}}_{ji})$, que es el traspuesto de $A$ y todos los elementos $a_{ij}$ conjugados. Nota que si $A=(a_{ij})\in \mathbb {R} \Rightarrow A^{*}=A^{T}$, es decir, si los elementos de $A$ son reales, la adjunta de $A$ coincide con su traspuesta. También nombrado hermítico adjunto, la hermítica o hermítico conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.

Definición

Si $\mathbf {A}$ es una matriz de n x m sobre los complejos: $A\in M_{n\times m}(\mathbb {C} )$ de la forma:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$

Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz $\mathbf {A}$, produce a la matriz traspuesta:

$\mathbf {A} ^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\bar {a}}_{11}&{\bar {a}}_{21}&{\bar {a}}_{31}&\cdots &{\bar {a}}_{n1}\\{\bar {a}}_{12}&{\bar {a}}_{22}&{\bar {a}}_{32}&\cdots &{\bar {a}}_{n2}\\{\bar {a}}_{13}&{\bar {a}}_{23}&{\bar {a}}_{33}&\cdots &{\bar {a}}_{n3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\bar {a}}_{1m}&{\bar {a}}_{2m}&{\bar {a}}_{3m}&\cdots &{\bar {a}}_{nm}\\\end{pmatrix}}$

Ejemplo

Una matriz $A={\begin{pmatrix}2i&6-i\\3+i&4\end{pmatrix}}$ tiene el traspuesto conjugado $A^{\dagger }={\begin{pmatrix}-2i&3-i\\6+i&4\end{pmatrix}}$

Propiedades

Una matriz cuadrada $\mathbf {A} ^{\dagger }$ será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y $\mathbf {A} ^{\dagger }=\mathbf {A}$. Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones, a partir de la definición se tienen las siguientes propiedades:

1. $(A^{\dagger })^{\dagger }=A$, involución.
2. $(A+B)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }$, adición de matrices.
3. $\forall r\in \mathbb {C} ,\quad (rA)^{\dagger }=r^{*}A^{\dagger }$, producto por escalares.
4. $(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$, inversión de la multiplicación
5. $(A^{-1})^{\dagger }=(A^{\dagger })^{-1}$ si la matriz es invertible.

Referencias

Bibliografía

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.

• Datos: Q2051983