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Matriz transpuesta

Elemento algebraico matricial transformación de una matriz inicial dada.
(Redirigido desde «Matriz traspuesta»)
La traspuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (AT)T = A.

Sea una matriz con filas y columnas. La matriz traspuesta, denotada con .[1][2]

Está dada por:

En donde el elemento de la matriz original se convertirá en el elemento de la matriz traspuesta .

Índice

EjemplosEditar

 
 

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

 

PropiedadesEditar

Involutiva
  • Para toda matriz  ,
 
Demostración
Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean aij dichos elementos, denotando por A = (aij)ij a la matriz, se tiene

 

Distributiva
  • Sean A y B matrices con elementos en un anillo   y sea  :
 
Demostración
Denotando por A = (aij)ij, B = (bij)ij y A+B = (cij)ij, donde cij = aij+bij, se tiene

 

Lineal
 
Demostración
Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa

 

sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por trasposición queda

 

  • Para el producto usual de las matrices   y  ,
 
Demostración
Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición

 

por trasposición queda

 

que coincide con la definición de producto para Bt At

  • Si   es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces
 

es semidefinida positiva.

Demostración
Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con   denotando la norma euclídea.

 

de las propiedades de la norma se deduce xt At A x ≥ 0 para todo x, luego At A es semidefinida positiva.

Definiciones asociadasEditar

Una matriz cuadrada   es simétrica si coincide con su traspuesta:

 

Una matriz cuadrada   es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

 

Si los elementos de la matriz   son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

 

y antihermítica si

 

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase tambiénEditar

  • La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
  • Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.

ReferenciasEditar

  1. García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN 9788487840685. 
  2. Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN 9789681863661. 

Enlaces externosEditar