Matriz transpuesta

elemento algebraico matricial
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Sea una matriz con filas y columnas. La matriz traspuesta, denotada con .[1][2]

La traspuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (AT)T = A.

Está dada por:

[3]

En donde el elemento de la matriz original se convertirá en el elemento de la matriz traspuesta .

Ejemplos

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Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

 

Propiedades

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Involutiva
  • Para toda matriz  ,
 
Demostración
Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean aij dichos elementos, denotando por A = (aij)ij a la matriz, se tiene

 

Distributiva
  • Sean A y B matrices con elementos en un anillo   y sea  :
 
Demostración
Denotando por A = (aij)ij, B = (bij)ij y A+B = (cij)ij, donde cij = aij+bij, se tiene

 

Lineal
 
Demostración
Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa

 

sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por trasposición queda

 

  • Para el producto usual de las matrices   y  ,
 
Demostración
Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición

 

por trasposición queda

 

que coincide con la definición de producto para Bt At

  • Si   es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces
 

es semidefinida positiva.

Demostración
Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con   denotando la norma euclídea.

 

de las propiedades de la norma se deduce xt At A x ≥ 0 para todo x, luego At A es semidefinida positiva.

Definiciones asociadas

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Una matriz cuadrada   es simétrica si coincide con su traspuesta:

 

Una matriz cuadrada   es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

 

Si los elementos de la matriz   son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

 

y antihermítica si

 

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

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Referencias

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  1. García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN 9788487840685. 
  2. Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN 9789681863661. 
  3. «MATRIZ TRASPUESTA». p. 2. 

Enlaces externos

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