Usuario:Josefina muguruza/Taller

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Circunferencia inscrita redireccione aquí. Por circunferencia inscrita de polígonos que no sean triángulos, ver Cuadrilátero tangencial o Polígono tangencial.
Triangulo (negro) con circunferencia inscrita (azul), incentro (I), circunferencia exinscripta (naranja), excentros (JA,JB,JC), interno angulo bisector (rojo) y angulo bisector exterior (verde)

En geometría, la circunferencia inscrita o circulo inscripto de un triangulo es el circulo mas grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro [1]​ del triángulo.

Un excirculo o circulo exinscripto[2]​ del triangulo es un circulo exterior al triangulo, tangente a uno de sus lados y tangente a la extensión de los otros dos lados. Cada triángulo tiene tres excirculos distintos, cada uno tangente a uno de los lados del triángulo.[3]

El centro de la cirtcunferencia inscrita, llamado incentro, puede ser encontrado en la interseccion de las tres bisectrices de los ángulos internos.[4][5]​ El centro de un excirculo es la interseccion de la bisectriz de un angulo interno (de vértice A, por ejemplo) y las bisectrices de los otros dos ángulos exteriores. El centro de ese excirculo se llama excentro relativo al vertice A, o excentro de A.[6]​ Portque la bisectriz interior de un angulo es perpendicular a la buisectriz del angulo exterior it follows that el centro de la cirucunferencia inscripta junto con los centros de las tres circunferencias exinscriptas forman un sistema ortocéntrico.[7]: p. 182 

Los poligonos[8]​ con mas de tres lados no todos tienen circunferencias inscriptas tangente a todos sus lados; éstos se llaman polígonos tangenciales. Ver también rectas tangentes a la circunferencia.

Relación con el área del triangulo

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Los radios de las circunferencias inscritas y exinscritas estan estrechamente relacionados con el área del triangulo.[9]

Circunferencia inscrita

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Supongamos que   tiene una circunferencia inscrita con radio r y centro I. Sea a la longitud de BC, b la longitud de AC, y c la longitud de AB. Ahora, la circunferencia inscrita es tangente a AB en algún punto C′, y asi   es correcto. Por tanto el radio C'I tiene una longitud de  . Por lo tanto   tiene una base de medida c , una altura de medida r, y así el área es  . Del mismo modo,   tiene área   y   tiene área   Dado que estos tres triangulos se descomponen  , vemos que :       and       

Donde   es el área de   y   es su semi perímetro.

Para una formula alternativa, considera  . Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a r y otro lado igual a  . Lo mismo es cierto para  . El triangulo grande se compone por 6 triángulos y el total del área es : 

Circunferencia exinscrita

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Los radios en la circunferencia exinscrita son llamadosexradios.La circunferencia exinscrita al lado AB toca al lado AC extendido en G, y el radio de esta circunferencia exisncrita  y su centro es  . Then   is an altitude of  , así   tiene área  . Por un argumento similar,   tiene área   y   tiene área  . Por tanto:  . Así, por simetría, : . Por Teorema del coseno, tenemos que:  

Combinando esto con la identidad  , tenemos que:  

Pero  ,y así:  

Esta es la Formula de Heron.

Combinando esto con  , tenemos que : 

Del mismo modo,   da:   y : [10]

A partir de estas formulas podemos ver que las circunferencias exisncritas son siempre mas grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita mas grande es la que es tangente al lado mas grande y la mas chica es la tangente al lado mas chico. Mas lejos, combinando estas formulas:[11]​ : 

La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a  , con la igualdad solo para el Triangulo equilatero.[12]

Construcciones relacionadas

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Circunferencia de los nueve puntos y el punto de Feuerbach

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La circunferencia tangente a las tres circunferencias exinscritas como a la circunferencia inscrita es conocido como Circunferencia de los nueve puntos. El punto donde el círculo de nueve puntos toca la circunferencia inscrita es conocido como el Punto de Feuerbach.

Triángulo y punto Gergonne

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triangulo, ΔABC, con circunferencia inscrita (azul),incentro (azul, I), triangulo de contacto (rojo, ΔTaTbTc) y punto Gergonne (verde, Ge)

El Triangulo de Gergonne (de ABC) está definido por los 3 puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los 3 lados. El punto de contacto opuesto al vértice A se nota TA, etc.

Este Triangulo de Gergonne TATBTC también se conoce como triangulo de contacto o triangulo en contacto con ABC.

Los tres segmentos ATA, BTB y CTC se intersecan en un solo punto llamado punto de Gergonne, anotado como Ge - X(7). El punto de Gergonne se encuentra a la intemperie disco orthocentroidal perforado en su propio centro , y podría ser cualquier punto en él.[13]

Curiosamente, el punto Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo Gergonne. Para un conjunto completo de propiedades del punto Gergonne ver.[14]

Coordenadas trilineales para los vértices donde el triángulo esta en contacto están dadas por

  •  
  •  
  •  

Las coordenadas trilineales para el punto Gergonne están dadas por

 , o, equivalentemente, por el Teorema del seno,
 .

Triangulo y punto de Nagel

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El Triangulo de Nagel de ABC es notado por los vértices XA, XB y XC que son los tres puntos donde la circunferenciqa exinscrita toca al triangulo de referencia ABC y donde XA es el opuesto al vértice A, etc. Este triangulo XAXBXC se conoce como el triangulo explicito de ABC. La circunferencia circunscrita del triángulo explicito XAXBXC es llamada Circulo Mandart. Los tres segmentos AXA, BXB y CXC se denominan divisores del triángulo; cada uno de ellos bisecan el perimetro del trángulo, y ellos se intersectan en un solo punto, el [[Nagel punto] del triángulo Na - X(8).

Las coordenadas trilinales por los vertices del triangulo ecplícito estan dadas por

  •  
  •  
  •  

Las coordenadas trilinales por el punto Nagel pestan dadas por

 ,

o, equivalentemente a Teorema de seno,

 .

Esto es el conjugado isotónico del punto de Gergonne.

Referencias

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  1. Kay (1969, p. 140)
  2. Altshiller-Court (1952, p. 74)
  3. Altshiller-Court (1952, p. 73)
  4. Altshiller-Court (1952, p. 73)
  5. Kay (1969, p. 117)
  6. Altshiller-Court (1952, p. 73)
  7. Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Johnson
  8. «Polígonos». Plan Ceibal. Consultado el 21 de septiembre de 2015. 
  9. Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
  10. Altshiller-Court (1952, p. 79)
  11. Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)
  12. Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.
  13. Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", Forum Geometricorum 6 (2006), 57--70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
  14. Dekov, Deko (2009). «Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point». Journal of Computer-generated Euclidean Geometry 1: 1–14. 

[1]

  1. Disfruta la Matematica. «El triangulo de Pascal». Consultado el 3 de agosto de 2015.