Incentro

punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo

El Incentro de un triángulo (marcado con la letra I en el gráfico) es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados, y por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados.

Un triángulo y su incentro I. Las líneas rojas son las bisectrices de los tres ángulos internos.
Incentro I

Junto con el baricentro, circuncentro y ortocentro, es uno de los cuatro puntos notables del triángulo conocidos por los antiguos griegos, y el único que no se sitúa sobre la recta de Euler.

Incentro do Triângulo.PNG

En la Enciclopedia de los Centros del Triángulo[1]​ (obra del matemático estadounidense Clark Kimberling) es designado X(1) como la primera entrada de la lista de centros. Es el elemento identidad del grupo multiplicativo de los centros del triángulo.[2][3]

Para polígonos con más de tres lados, el incentro solo existe en polígonos tangenciales -es decir, aquellos que tienen una circunferencia inscrita que es tangente a todos los lados del polígono. En este caso, el incentro es el centro de esta circunferencia y es equidistante de todos los lados.

Coordenadas cartesianasEditar

Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vértices del triángulo A, B y C. Si los vértices tienen por coordenadas  ,  , y  , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes  ,  , y  , el incentro tendrá por coordenadas  :

 
Demostración
 
Las bisectrices interiores de un triángulo como rectas cevianas.

En efecto,

  • Por el teorema de la bisectriz, aplicado a las bisectrices de los ángulos   y  , se tiene que
   
resultando
 
  y  
Entonces:
 
  • Para los vectores   y   existen los números reales   y   con   y  . Entonces, expresando el vector   de estas dos formas,   y  , se tiene que:
 
  • Ahora, dada la independencia lineal de los vectores   y   entonces:
 
 
  • Finalmente,
 


Coordenadas trilinealesEditar

Las coordenadas trilineales del incentro son

 

La colección de centros del triángulo presenta estructura de grupo cuando se expresan sus coordenadas en el sistema trilineal respecto a la operación producto. En este grupo, el incentro es el elemento identidad.[3]

Coordenadas baricéntricasEditar

Las coordenadas baricéntricas del incentro son

 

donde  ,  , y   son las longitudes de los lados del triángulo, o de forma equivalente (utilizando el teorema de los senos) se pueden definir como

 

donde  ,  , y   son los ángulos de los tres vértices del triángulo.

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

Propiedades del incentroEditar

Distancias a los vérticesEditar

Denominando al incentro del triángulo ABC como I, las distancias desde el incentro a los vértices, de acuerdo con las longitudes de los lados, obedecen a la ecuación[4]

 

Adicionalmente,[5]

 

donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.

Distancia al vértice A.

1. Conociendo el ángulo A y el radio r

  → (1),[6]​ r radio de la circunferencia inscrita.

2. Conociendo los tres lados.

  donde a, b y c son las longitudes de los lados y   es el semiperímetro.

Para deducir esta fórmula cíclica, se iguala pr con la fórmula de Herón. Se despeja cos A de la fórmula que brinda la ley de los cosenos y se halla el sen de A/2, también el cosecante de A/2. Se reemplaza r y csc A/2 en la fórmula anterior (1).[7]

Otros centrosEditar

La distancia entre el incentro y el centroide es menor que una tercera parte de la longitud de la mediana más larga del triángulo.[8]

De acuerdo con el Teorema geométrico de Euler, la distancia entre el incentro I y el circuncentro O elevada al cuadrado, viene dada por[9][10]

 

donde R y r son el circunradio y el inradio respectivamente; en consecuencia, el circunradio es al menos dos veces el inradio (siendo exactamente el doble únicamente en el caso del triángulo equilátero[11]: p. 198 ).

La distancia desde el incentro al centro N de la circunferencia de los nueve puntos es[10]

 

La distancia al cuadrado entre el incentro y el ortocentro H es[12]

 

Existen inecuaciones que afirman que:

 

El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial (el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados) y se halla situado en el interior de este triángulo. Recíprocamente, el punto de Nagel de cualquier triángulo es el incentro de su triángulo anticomplementario.[13]

El incentro se localiza en el interior de un disco cuyo diámetro une el centroide G y el ortocentro H (el disco ortocentroidal), pero no puede coincidir con el centro de los nueve puntos, cuya posición es fija a 1/4 a lo largo del diámetro (más cercano a G). Ningún otro punto dentro del disco ortocentroidal es el incentro de alguno de los triángulos singulares.[14]

Recta de EulerEditar

La recta de Euler de un triángulo pasa a través de su circuncentro, su centroide, y su ortocentro, además de por otros puntos notables. El incentro generalmente no pertenece a la recta de Euler;[15]​ salvo para los triángulos isósceles,[16]​ en cuyo caso la recta de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos sus centros.

Denominando a la distancia desde el incentro a la recta de Euler d; a la longitud de la mayor mediana v; a la longitud del mayor lado del triángulo u; al circunradio R; a la longitud del segmento de la recta de Euler desde el ortocentro hasta el circuncentro e; y al semiperímetro s; se tienen las inecuaciones siguientes:[17]

 
 
 

Divisiones de área y de perímetroEditar

Cualquier recta que divida un triángulo en dos partes de igual área e igual perímetro (ambas condiciones se dan simultáneamente), pasa por su incentro. Puede haber una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado.[18]

Distancia relativa de los puntos de una bisectrizEditar

Sea X un punto de la bisectriz del ángulo A. Entonces, cuando X = I (el incentro) se maximiza o minimiza el cociente   a lo largo de la bisectriz.[19][20]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Encyclopedia of Triangle Centers
  2. Kimberling, Clark (1994), «Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle», Mathematics Magazine 67 (3): 163-187, JSTOR 2690608, MR 1573021 ..
  3. a b Encyclopedia of Triangle Centers, consultada el 28 de octubre de 2014.
  4. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (marzo de 2012), «Proving a nineteenth century ellipse identity», Mathematical Gazette 96: 161-165 ..
  5. Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications .. #84, p. 121.
  6. Solimar Flores Espíritu: Puntos notables Lumbreras editores
  7. Flores: Obra citada
  8. Franzsen, William N. (2011), «The distance from the incenter to the Euler line», Forum Geometricorum 11: 231-236, MR 2877263 .. Lemma 3, p. 233.
  9. Johnson (1929), p. 186
  10. a b Franzsen (2011), p.  232.
  11. Dragutin Svrtan and Darko Veljan, "Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities", Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
  12. Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers" Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
  13. Franzsen (2011), Lemma 1, p.  233.
  14. Franzsen (2011), p. 232.
  15. Schattschneider, Doris; King, James (1997), Geometry Turned On: Dynamic Software in Learning, Teaching, and Research, The Mathematical Association of America, pp. 3-4, ISBN 978-0883850992 .
  16. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), «Orthocentric simplices and biregularity», Results in Mathematics 52 (1-2): 41-50, MR 2430410, doi:10.1007/s00025-008-0294-4, «It is well known that the incenter of a Euclidean triangle lies on its Euler line connecting the centroid and the circumcenter if and only if the triangle is isosceles » ..
  17. Franzsen (2011), pp. 232–234.
  18. Kodokostas, Dimitrios (Abril de 2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine 83: 141-146, doi:10.4169/002557010X482916 ..
  19. Arie Bialostocki and Dora Bialostocki, "The incenter and an excenter as solutions to an extremal problem", Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
  20. Hajja, Mowaffaq, Extremal properties of the incentre and the excenters of a triangle", Mathematical Gazette 96, July 2012, 315-317.

Enlaces externosEditar