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Dualidad ( geometría proyectiva )

Una característica notable de plano proyectivo es la "simetría" de las funciones desempeñadas por los puntos y líneas en las definiciones y teoremas. La (plano) dualidad es la formalización de este concepto metamatemático. Hay dos aproximaciones al tema de la dualidad, uno a través del lenguaje (el Principio de Dualidad) mientras que el otro es un enfoque más funcional. Estos son completamente equivalentes y cada uno de éstos tiene como punto de partida la versión axiomática de las geometrías que se consideran. En el enfoque funcional hay un mapeado entre geometrías relacionadas que se llama una dualidad. En ejemplos específicos, tal mapa puede construirse de muchas maneras. El concepto de plano dualidad se extiende fácilmente a la dualidad espacial, y más aún, a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.

Principio de Dualidad

Si se define un plano proyectivo axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas, y una relación de incidencia que determina qué puntos se encuentran en las líneas, entonces uno puede definir una estructura de plano dual .

Intercambiar el papel de los "puntos" y "líneas" en

C = (P, L, I)

para obtener la estructura dual

C * = (L, P, I *),

donde I * es la relación inversa de I . C * es también un plano proyectivo, llamado el doble plano de C.

Si C y C * son isomorfos, entonces C se llama auto-dual . Los planos proyectivos PG (2, K ) para cualquier campo (o, más en general, para cada anillo de división isomorfo a su doble) K son auto-dual. En particular, los planos Desargusianos de orden finito son siempre auto-dual. Sin embargo, existen planos no Desarguesianos que no son auto-dual, como el plano de Hughes .

En un plano proyectivo, una afirmación que involucre puntos, líneas e incidencias entre ellos que se obtienen de otro, tal afirmación, cambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo cualquier otro ajuste gramatical que fuera necesario, es llamada la afirmación de plano dual. La versión dual de "Dos puntos se encuentran una misma línea" es "Dos líneas se unen en un mismo punto. El proceso de determinar el doble plano de una afirmación es conocido como dualizar la afirmación.

Si un enunciado es verdadero en un plano proyectivo C, entonces el plano dual de esa declaración debe ser verdadera en el doble plano C *. Esto ocurre, dado que dualizar cada sentencia de la prueba "en C" da una declaración de la prueba "en C *."

El Principio de Plano Dualidaddice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo auto-dual C produce otro teorema válido en C.

Los conceptos anteriores pueden generalizarse a hablar acerca de la dualidad espacial, donde se intercambian los términos "puntos" y "planos" (y las líneas siguen siendo líneas). Esto lleva al Principio de Espacio Dual . Aún mayor generalización es posible (véase más adelante).

Estos principios proporcionan una buena razón para preferir usar un término "simétrico" para la relación de incidencia. Así, en lugar de decir "un punto se encuentra en una línea" se debe decir "un punto es incidente con una línea", dado que dualizar éste último sólo involucra cambiar punto y línea ("una línea es incidente con un punto").

Tradicionalmente, en la geometría proyectiva, el conjunto de puntos de una línea se considera que incluye la relación de armónicos proyectivos conjuados. En esta tradición, los puntos de una línea forman un rango proyectivo , un concepto dual a un lápiz de líneas en un punto.

Dual Teoremas

Dado que el plano real proyectivo, PG (2, 'I' ), es auto-dual existe una serie de pares de resultados bien conocidos que son duales entre sí. Algunos de estos son:

• Teorema de Desargues ⇔ Inverso del teorema de Desargues
• Teorema de Pascal ⇔ Teorema de Brianchon
• Teorema de Menelao ⇔ Teorema de Ceva

La dualidad como un mapeo

Una dualidad (plano) es un mapeo de un plano proyectivo C = (P, L, I) a su plano dual C * = (L, P, I *) (ver arriba) que conserva la incidencia. Es decir, una (plano) dualidad σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos (P ^σ = L y L ^σ = P) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (denotado por QI m), entonces Q ^σ I * m ^σ ⇔ m ^σ IQ ^σ . Una (plano) dualidad que es un isomorfismo se llama una 'correlación' ​ La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es auto-dual.

En el caso especial de que el plano proyectivo es del tipo PG (2, K ), con K un anillo de división, una dualidad se llama una reciprocidad ​ Por el Teorema fundamental de la geometría proyectiva una reciprocidad es la composición de un función automorfica de K y un homografıa. Si el automorfismo involucrado es la identidad, la reciprocidad se llama una correlación proyectiva .

Una correlación de orden dos (un involución) se llama un 'polaridad' . Si un φ correlación no es una polaridad entonces φ ² es una colineación no trivial.

Este concepto de mapeo de dualidad también se puede extender a espacios de dimensiones superiores por lo que el modificador "(plano)" puede erradicarse en esas situaciones.

Dualidad de dimensiones superiores

La dualidad en el plano proyectivo es un caso especial de la dualidad de espacio proyectivo, transformaciones de PG (n, K ) (también denotado por K P ⁿ ) con K un campo, que intercambia objetos de dimensión r con objetos de dimensión n - 1 - r (= codimensión r + 1) . Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión n , los puntos (dimensión 0) se hacen corresponder con hiperplano (codimensión 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) se hacen corresponder con la intersección de dos hiperplanos codimensión (2), y así sucesivamente.

Los puntos de PG (n, K ) se pueden tomar para ser los vectores no nulos en el ( n & nbsp; + & nbsp; 1) espacio vectorial de dimensión n+1 sobre K , donde identificamos dos vectores que difieren por un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos de espacios proyectivos n-dimensionales son las líneas pasan por el origen en K ^{n & nbsp; + & nbsp; 1} , que son subespacios vectoriales unidimensionales. ​

Un vector no nulo u = ( u ₀ , u ₁ , ..., u _n ) en K ^{n   +   1} también determina un subespacio geométrico (n - 1)-dimensional (hiperplano) H _u , por

H _u = {( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ): u ₀ x ₀ + ... + u _n x _n = 0}.

Cuando se utiliza un vector u para definir un hiperplano de esta manera, se denota por u _H , mientras que si está designando un punto usaremos u _P . En términos del producto escalar usual, H _u = { ' _P : u _H • x _P = 0}. Dado que K es un campo, el producto escalar es simétrico, es decir, u _H • x _P = u ₀ x ₀ + u ₁ x ₁ + ... +u _n x _n = x ₀ u ₀ ' + x ₁ u ₁ + ... + x _n u _n = x _H • u _P . Una reciprocidad se puede darse por U _P ↔ H _u entre puntos y hiperplanos. Esto se extiende a una reciprocidad entre la línea generada por dos puntos y la intersección de dos de tales hiperplanos, y así sucesivamente.

En el plano proyectivo, PG (2, K ), con K un campo tenemos la reciprocidad dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a, b​​, c ) ↔ líneas con ecuaciones ax + by + cz = 0 . En el espacio proyectivo correspondiente, PG (3, K ), una reciprocidad está dada por: puntos en coordenadas homogéneas ( a, b​​, c, d ) ↔ planos ecuaciones ax + by + cz + dw = 0 Esta reciprocidad sería también asignaría línea determinada por dos puntos ( a ₁ , b ₁ , c ₁ , d ₁ ) y ( a ₂ , b ₂ , c ₂ , d ₂ ) a la línea, que es la intersección de los dos planos con ecuaciones a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z + d ₁ w = 0 y a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z + d ₂ w = 0.