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Principio de Acotación Uniforme

En matemáticas, el principio de acotación uniforme (también llamado teorema de Banach-Steinhaus, en honor a los matemáticos polacos Stefan Banach y Hugo Steinhaus, quienes publicaron éste resultado en 1927) es un importante resultado del análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de la aplicación abierta, son los pilares de esta rama de las matemáticas. Dicho de un modo simple, el principio de acotación uniforme permite afirmar que en una familia de operadores lineales y continuos (por tanto, acotados), cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforma en la norma del operador.

Teorema

Sean $E$ un espacio de Banach y $T_{i}$ una familia en $E^{'}$ tal que para cada $x\in E$, la familia $T_{i}(x)$ es acotada en $\mathbb {K}$. Entonces existe una constante $\alpha >0$ tal que $\|T_{i}\|\leq \alpha$, para todo $i\in I$.

Demostración

Para $i\in I,n\in \mathbb {N}$ sean

$F_{n,i}=\{x\in E:|T_{i}(x)|\leq n\}$

y, $F_{n}=\bigcap _{i\in I}F_{n,i}$. Entonces, $(F_{n})$ es una sucesión de subconjuntos cerrados de $E$ y, por hipótesis, se tiene que $E=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}$. Como $E$ es un espacio de Baire, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$, tal que int$(F_{n_{0}})\neq \emptyset$. Por lo tanto, existen $x_{0}\in F_{n_{0}}$, y, $\varepsilon >0$ tales que $B_{\varepsilon }(x_{0})\subset F_{n_{0}}$, o sea,

$x\in B_{\varepsilon }(x_{0}),i\in I\Longrightarrow |T_{i}(x)|\leq n_{0}.$