Teorema de Hahn–Banach

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En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier funcional lineal acotada definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920.

El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas.

El teorema de Hahn-Banach (forma analítica)Editar

Un funcional sublineal en un espacio vectorial   sobre un cuerpo   (que puede ser los números reales   o complejos  ) es una función   que verifica:

 

Ejemplos de funcionales sublineales son cualquier norma vectorial y seminorma.

Entonces la forma analítica del teorema de Hahn–Banach establece que si   es un funcional sublineal, y   es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial   de   que está acotado por   sobre   i.e..

 

entonces existe una extensión lineal   de f a todo el espacio   i.e. existe un funcional lineal   tal que

 

y

 

La extensión   no es en general única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún método para encontrar  .

ConsecuenciasEditar

El teorema tiene numerosas consecuencias, que a veces se llaman también "teorema de Hahn-Banach":

  • Hahn-Banach para espacios normados. Cualquier funcional lineal continuo f definido en un subespacio de un espacio vectorial normado tiene una extensión continua   a todo el espacio tal que el funcional y su extensión tienen la misma norma.
  • Hahn-Banach (primera forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre  , siendo al menos uno de los dos subconjuntos abierto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido amplio.
  • Hahn-Banach (segunda forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre  , siendo al menos uno de los dos subconjuntos cerrado y el otro compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido estricto.

ReferenciasEditar

  • Brézis, Haïm (1984). Análisis funcional: Teoría y aplicaciones. Alianza Editorial.