Anexo:Grupos finitos de orden bajo

Este artículo muestra una lista matemática de los grupos finitos de orden bajo (una cardinalidad de hasta 16 elementos) clasificados por isomorfismo de grupos.

Con esta lista se puede determinar de qué grupo conocido es isomorfo un grupo finito G dado: Buscar primero el orden de G, seguidamente busque los candidatos para ese orden en la lista. Si sabe si G es o no es abeliano quizás puede descartar algunos candidatos. Para distinguir entre los candidatos restantes se puede mirar el orden de los elementos de G y compararlos con el orden de los elementos de los candidatos.

Terminología

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El signo de igualdad "=" denota isomorfismo de grupos.

La notación G × H indica el producto directo de dos grupos; Gn indica el producto directo de un grupo consigo mismo n veces.   significa el producto semidirecto donde H actúa sobre G, si la acción particular de H sobre G se omite es que todas las acciones no triviales posibles dan el mismo grupo producto salvo el isomorfismo.

Se indican los que son grupos abelianos y los que son grupos simples. (Para los grupos de orden n <60, los grupos simples son exactamente los grupos cíclicos Cn, siendo n primo).

El elemento neutro está representado por un círculo negro en el grafos de los ciclos. El orden más pequeño para el cual el grafo no representa unívocamente un grupo es el orden 16.

En las listas de subgrupos, el grupo trivial y el propio grupo no aparecen indicados. En los casos donde hay múltiples subgrupos isomorfos, el número de apariciones se indica entre paréntesis.

Lista de grupos abelianos pequeños

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Los grupos abelianos finitos se clasifican fácilmente: son grupos cíclicos o sus productos directos. El teorema chino del resto nos puede ayudar a encontrar los isomorfismos con estos productos directos. Los grupos abelianos finitamente generados también se pueden clasificar. Ver más información en el artículo grupo abeliano.

Orden Grupo Subgrupos Propiedades Grafo de los ciclos
1 grupo trivial = Z1 = S1 = A2 - Trivialmente tiene propiedades diversas
 
2 Z2 = S2 = Dih1 - Simple, el grupo no trivial más pequeño
 
3 Z3 = A3 - Simple
 
4 Z4 Z2   
 
Grupo de Klein = Z2 × Z2 = Dih2 Z2 (3) El grupo acíclico más pequeño
 
5 Z5 - Simple
 
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2  
 
7 Z7 - Simple
 
8 Z8 Z4 , Z2  
 
Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)  
 
Z23 Z22 (7) , Z2 (7) Los elementos, excepto el neutro, se corresponden con los puntos en el plano de Fano, los subgrupos Z2 x Z2 a las líneas.
 
9 Z9 Z3  
 
Z32 Z3 (4)  
 
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  
 
11 Z11 - Simple
 
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2  
 
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22  
 
13 Z13 - Simple
 
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  
 
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3  
 
16 Z16 Z8 , Z4, Z2  
 
Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)  
 
Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)  
 
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2  
 
Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)  
 

Lista de grupos no abelianos pequeños

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Orden Grupo Subgrupos Propiedades Grafo de los ciclos
6 S3 = Dih3 Z3 , Z2 (3) El grupo no abeliano más pequeño
 
8 Dih4 Z4, Z22 (2) , Z2 (5)
 
Grupo de los cuaterniones, Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 El más pequeño grupo Hamiltoniano; el grupo más pequeño que demuestra que todos los subgrupos pueden ser normales sin que el grupo sea abeliano;el grupo G más pequeño que demuestra que para un subgrupo normal H el grupo cociente G / H no tiene que ser isomorfo a un subgrupo de G
 
10 Dih5 Z5 , Z2 (5)
 
12 Dih6 = Dih3 × Z2 Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)
 
A4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) Grupo más pequeño que demuestra que un grupo no necesita tener un subgrupo de cada orden que divida al orden del grupo, ya que no tiene ningún subgrupo de orden 6 (Ver el teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow)
 
Dic3 = Z3   Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6
 
14 Dih7 Z7, Z2 (7)
 
16 [1] Dih8 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)
 
Dih4 × Z2 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
 
Grupo generalizado de los cuaterniones, Q16 = Dic4  
 
Q8 × Z2   Hamiltoniano
 
El grupo cuasidiedrico de orden 16  
 
Grupo modular o grupo de Iwasawa de orden 16  
 
Z4   Z4  
 
El grupo generado por las matrices de Pauli  
 
G4,4 = Z22   Z4  
 

Biblioteca de grupos pequeños

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Los sistemas computacionales algebraicos de teoría de grupos GAP y Magma contienen la «Biblioteca de grupos pequeños" que proporciona acceso a descripciones de grupos de orden bajo. Se listan los grupos salvo isomorfismo. Actualmente esta librería contiene los siguientes grupos [2]

  • Todos los grupos de orden hasta 2000, excepto los de orden 1024. Son 423.164.062 grupos. Los de orden 1024 no aparecen, sólo contando los 2-grupos de orden 1024 no isomorfos hay 49.487.365.422.
  • Los de un orden libre de cubos hasta el 50.000. Son 395.703 grupos.
  • Los de un orden libre de cuadrados.
  • Los de orden pnpara n hasta 6 y p un número primo.
  • Los de orden p7 para p siendo 3, 5, 7 o 11. Son 907.489 grupos.
  • Los de orden qn×p donde qn divide a 28, 36, 55 o 74 y el número p es un primo arbitrario diferente de q.
  • Aquellos cuyo orden tiene como máximo tres factores primos.

Contiene descripciones explícitas de los grupos disponibles en formato legible por ordenador.

Véase también

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Referencias

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  1. Wild, Marcel (Enero de 2005). «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (pdf). En Asociación Matemática Americana, ed. American Mathematical Monthly (en inglés). 
  2. Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina y O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011. 

Enlaces externos

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«Particular groups». groupprops.subwiki.org (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011. 

Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina y O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en inglés). Consultado el 30 de octubre de 2011. 

Hall, Jr, Marshall; Senior, James K. (1964). Macmillan, ed. The Groups of Order 2n (n ≤ 6) (en inglés). LCCN 64016861, MR 168631. «Un catálogo exhaustivo de los 340 grupos con orden divisor de 64 con tablas detalladas de la definición de relaciones, constantes, y presentaciones de retículo de cada grupo; en el prólogo se cita "De un valor duradero para los interesados en los grupos finitos".»