Cálculo Fraccional de Conjuntos

El Cálculo Fraccional de Conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",​ es una metodología derivada del Cálculo fraccional.​ El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.​​​ Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson Fraccional ​ y trabajos relacionados posteriores.​​​

Conjunto $O_{x,\alpha }^{n}(h)$ de Operadores Fraccionales

El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero: ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$. Gracias a esta notación, L’Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar $n={\frac {1}{2}}$ en una derivada. En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".

El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden $\alpha \in \mathbb {R}$. Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:

${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.$

Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que $\alpha \to n$. Considerando una función escalar $h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ y la base canónica de $\mathbb {R} ^{m}$ denotada por $\{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}$, el siguiente operador fraccional de orden $\alpha$ se define utilizando notación de Einstein:​

$o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).$

Denotando $\partial _{k}^{n}$ como la derivada parcial de orden $n$ con respecto al componente $k$-ésimo del vector $x$, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

$O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},$

cuyo complemento es:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para al menos un }}k\geq 1\right\}.$

Como consecuencia, se define el siguiente conjunto:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensión a Funciones Vectoriales

Para una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$, el conjunto se define como:

${}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},$

donde $[h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ denota el $k$-ésimo componente de la función $h$.

Conjunto ${}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ de Operadores Fraccionales

El conjunto de operadores fraccionales considerando órdenes infinitos se define como:

${}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h):=\bigcap _{k\in \mathbb {Z} }{}_{m}O_{x,\alpha }^{k,u}(h),$

donde bajo el producto de Hadamard ​ clásico se tiene que:

$o_{x}^{0}\circ h(x):=h(x)\quad \forall o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h).$

Operadores Matriciales Fraccionales

Para cada operador $o_{x}^{\alpha }$, el operador matricial fraccional se define como:

$A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })=\left([A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{\alpha }\right),$

y para cada operador $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$, se puede definir la siguiente matriz, correspondiente a una generalización de la matriz Jacobiana:​

$A_{h,\alpha }:=A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })\circ A_{\alpha }^{T}(h),$

donde $A_{\alpha }(h):=\left([A_{\alpha }(h)]_{jk}\right)=\left([h]_{k}\right)$.

Producto de Hadamard Modificado

Considerando que, en general, $o_{x}^{p\alpha }\circ o_{x}^{q\alpha }\neq o_{x}^{(p+q)\alpha }$, se define el siguiente producto de Hadamard modificado:

$o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha }:=\left\{{\begin{array}{cl}o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha },&{\text{si }}i\neq j\ ({\text{producto de Hadamard tipo horizontal}})\\o_{i,x}^{(p+q)\alpha },&{\text{si }}i=j\ ({\text{producto de Hadamard tipo vertical}})\end{array}}\right.,$

con el cual se obtiene el siguiente teorema:

Teorema: Grupo Abeliano de Operadores Matriciales Fraccionales

Sea $o_{x}^{\alpha }$ un operador fraccional tal que $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$. Considerando el producto de Hadamard modificado, se define el siguiente conjunto de operadores matriciales fraccionales:

${\begin{array}{c}{}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })):=\left\{A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }(o_{x}^{r\alpha }):r\in \mathbb {Z} \ {\text{ y }}\ A_{\alpha }^{\circ r}=\left([A_{\alpha }^{\circ r}]_{jk}\right):=\left(o_{k}^{r\alpha }\right)\right\},\end{array}}\quad (1)$

que corresponde al grupo Abeliano ​ generado por el operador $A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })$.

Demostración

Dado que el conjunto en la ecuación (1) se define aplicando solo el producto de Hadamard tipo vertical entre sus elementos, para todos $A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))$ se tiene que:

$A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=\left([A_{\alpha }^{\circ p}]_{jk}\right)\circ \left([A_{\alpha }^{\circ q}]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{(p+q)\alpha }\right)=\left([A_{\alpha }^{\circ (p+q)}]_{jk}\right)=A_{\alpha }^{\circ (p+q)},$

con lo cual es posible demostrar que el conjunto (1) satisface las siguientes propiedades de un grupo Abeliano:

$\left\{{\begin{array}{l}\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q},A_{\alpha }^{\circ r}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \left(A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}\right)\circ A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }^{\circ p}\circ \left(A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ r}\right)\\\exists A_{\alpha }^{\circ 0}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ \forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ 0}\circ A_{\alpha }^{\circ p}=A_{\alpha }^{\circ p}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \exists A_{\alpha }^{\circ -p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tal que}}\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ -p}=A_{\alpha }^{\circ 0}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ p}\end{array}}\right..$

Conjunto ${}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)$ de Operadores Fraccionales

Sea $\mathbb {N} _{0}$ el conjunto $\mathbb {N} \cup \{0\}$. Si $\gamma \in \mathbb {N} _{0}^{m}$ y $x\in \mathbb {R} ^{m}$, entonces es posible definir la siguiente notación multi-índice:

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}\displaystyle \gamma !:=\prod _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k}!,&|\gamma |:=\displaystyle \sum _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k},&\displaystyle x^{\gamma }:=\prod _{k=1}^{m}[x]_{k}^{[\gamma ]_{k}}\end{array}}\\\displaystyle {\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}:={\frac {\partial ^{[\gamma ]_{1}}}{\partial [x]_{1}}}{\frac {\partial ^{[\gamma ]_{2}}}{\partial [x]_{2}}}\cdots {\frac {\partial ^{[\gamma ]_{m}}}{\partial [x]_{m}}}\end{array}}\right..$

Entonces, considerando una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ y el operador fraccional:

$s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right):=o_{1}^{\alpha [\gamma ]_{1}}o_{2}^{\alpha [\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{\alpha [\gamma ]_{m}},$

se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

$S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }=s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right)\ :\ \exists s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)\ {\text{ con }}\ o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{s}(h)\ \forall s\leq n^{2}\ {\text{ y }}\ \lim _{\alpha \to k}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)={\frac {\partial ^{k\gamma }}{\partial x^{k\gamma }}}h(x)\ \forall \alpha ,|\gamma |\leq n\right\}.$

De donde se obtienen los siguientes resultados:

${\text{Si }}s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\ \Rightarrow \ \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{0}o_{2}^{0}\cdots o_{m}^{0}h(x)=h(x)\\\displaystyle \lim _{\alpha \to 1}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{[\gamma ]_{1}}o_{2}^{[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}h(x)\ \forall |\gamma |\leq n\\\displaystyle \lim _{\alpha \to q}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{q[\gamma ]_{1}}o_{2}^{q[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{q[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}}h(x)\ \forall q|\gamma |\leq qn\\\displaystyle \lim _{\alpha \to n}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{n[\gamma ]_{1}}o_{2}^{n[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{n[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}}h(x)\ \forall n|\gamma |\leq n^{2}\end{array}}\right..$

Como consecuencia, considerando una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

${}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }\left([h]_{k}\right)\ \forall k\leq m\right\}.$

Conjunto ${}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)$ de Operadores Fraccionales

Considerando una función $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ y el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

${}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h):=\lim _{n\to \infty }{}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).$

Entonces, tomando una bola $B(a;\delta )\subset \Omega$, es posible definir el siguiente conjunto de operadores fraccionales:

${}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h):=\left\{t_{x}^{\alpha ,\infty }=t_{x}^{\alpha ,\infty }\left(s_{x}^{\alpha \gamma }\right)\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in {}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h)\ {\text{ y }}\ t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x):=\sum _{|\gamma |=0}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\right\},$

el cual permite generalizar la expansión en serie de Taylor de una función vectorial en notación multi-índice. Como consecuencia, es posible obtener el siguiente resultado:

${\text{Si }}t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x)=&\displaystyle {\hat {e}}_{j}[h]_{j}(a)+\sum _{|\gamma |=1}{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\\=&\displaystyle h(a)+\sum _{k=1}^{n}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[h]_{j}(a)\left[(x-a)\right]_{k}+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\end{array}}\right..$

Método de Newton-Raphson Fraccional

Sea $f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ una función con un punto $\xi \in \Omega$ tal que $\|f(\xi )\|=0$. Entonces, para algún $x_{i}\in B(\xi ;\delta )\subset \Omega$ y un operador fraccional $t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(x_{i},f)$, es posible definir un tipo de aproximación lineal de la función $f$ alrededor de $x_{i}$ de la siguiente manera:

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\sum _{k=1}^{m}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\left[(x-x_{i})\right]_{k},$

lo cual se puede expresar de forma más compacta como:

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(x-x_{i}),$

donde $\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)$ denota una matriz cuadrada. Por otro lado, si $x\to \xi$ y dado que $\|f(\xi )\|=0$, se infiere lo siguiente:

$0\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(\xi -x_{i})\quad \Rightarrow \quad \xi \approx x_{i}-\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)^{-1}f(x_{i}).$

Como consecuencia, definiendo la matriz:

$A_{f,\alpha }(x)=\left([A_{f,\alpha }]_{jk}(x)\right):=\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x)\right)^{-1},$

es posible definir el siguiente método iterativo fraccional:

$x_{i+1}:=\Phi (\alpha ,x_{i})=x_{i}-A_{f,\alpha }(x_{i})f(x_{i}),\quad i=0,1,2,\cdots ,$

que corresponde al caso más general del método de Newton-Raphson fraccional.

Bibliografía

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods. Fractal Fract. 2021, 5, 240. DOI: 10.3390/fractalfract5040240

• Oliveira, E.C.D.; Machado, J.A.T. A review of definitions for fractional derivatives and integral. Math. Probl. Eng. 2014, 2014, 238459. DOI: 10.1155/2014/238459

• Teodoro, G.S.; Machado, J.A.T.; Oliveira, E.C.D. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. J. Comput. Phys. 2019, 388, 195–208. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.03.008

• Valério, D.; Ortigueira, M.D.; Lopes, A.M. How many fractional derivatives are there? Mathematics 2022, 10, 737. DOI: 10.3390/math10050737

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Fractional Newton-Raphson Method. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2021, 8, 1–13. DOI: 10.5121/mathsj.2021.8101

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers. Applied Mathematics and Computation 2022, Volume 429, 127231. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127231

• Torres-Hernandez, A. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2022, 9, 17–24. DOI: 10.5121/mathsj.2022.9103

• Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications. En Operator Theory, IntechOpen, 2022. DOI: 10.5772/intechopen.107263

• Datos: Q126282413