Serie de Taylor

expresión de una función como una suma infinita

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando , se le denomina también serie de Maclaurin.

A medida que aumenta el grado del polinomio de Maclaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Maclaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo)

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

  • la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
  • se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
  • es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de (véase Serie de Laurent). Por ejemplo se puede desarrollar como serie de Laurent.

DefiniciónEditar

La serie de Taylor de una función real o compleja   infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

 

donde   denota el factorial de  . Utilizando la notación sigma, lo anterior puede ser escrito de manera compacta como

 

donde   denota la  -ésima derivada de   evaluada en el punto  . (La derivada de orden cero de   es definida como la propia   y tanto   como   son ambos definidos como  .)

En particular, cuando  , la serie es llamada serie de McLaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en   de la forma   siempre se puede hacer el cambio de variable   (con lo que   en la función a desarrollar original) para expresarla como   centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función   alrededor de a = 1 se puede tomar  , de manera que se desarrollaría   centrada en 0.

EjemplosEditar

La serie de Taylor de un polinomio es el propio polinomio.

La serie de Maclaurin para   es la serie geométrica

 

por lo que la serie de Taylor para   en   es

 

Integrando la serie de Maclaurin de arriba, obtenemos la serie de Maclaurin de  , donde   denota el logaritmo natural

 

más general, la serie de Taylor para   en un punto arbitrario   es

 

La serie de Maclaurin de la función exponencial   es

 

HistoriaEditar

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.[1]​ Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.[2]

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.[3]​ A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quien publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Función analíticaEditar

Si   está dada por una serie de potencias convergente en un disco abierto (o intervalo en la recta real) centrada en   en el plano complejo entonces se dice que es analítica en el disco, por lo que para   en este disco,   está dada por la serie de potencia convergente

 

derivando con respecto a   la fórmula anterior   veces y evaluando   obtenemos

 

y en tal caso, la expansión en series de potencia coincide con la serie de Taylor. Por lo tanto, una función es analítica en un disco abierto centrado en   si y sólo si su serie de Taylor converge al valor de la función en cada punto en el disco.

Si   es igual a la suma de su serie de Taylor para toda   en el plano complejo entonces   es llamada entera. Los polinomios, la función exponencial   y las funciones trigonométrica seno y coseno, son ejemplos de funciones enteras. Ejemplos de funciones que no son enteras son el logaritmo, la función trigonométrica tangente y su inversa, arcotangente; para estas funciones la serie de Taylor no converge si   está alejado de  , esto es, la serie de Taylor diverge para   si la distancia entre   y   es mayor que el radio de convergencia. La serie de Taylor puede ser usada para calcular el valor de una función entera en cada punto si el valor de la función y todas sus derivadas son conocidas en cada punto.

Lista de Series de Maclaurin de algunas funciones comunesEditar

 
La función coseno
 
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos
 
Las dos imágenes superiores unidas

A continuación se enumeran algunas series de Maclaurin de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de  .

Función exponencialEditar

La función exponencial   tiene como serie de Maclaurin

 

y converge para toda  .

Logaritmo naturalEditar

El logaritmo natural (en base  ) tiene como serie de Maclaurin

 
 

y convergen para  .

 

Serie geométricaEditar

La serie geométrica y sus derivadas tienen serie de Maclaurin

 

y todas convergen para  .

Serie binomialEditar

La series binomial es la serie de potencias

 

cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales generalizados

 

(Si  , este producto es un producto vacío y tiene un valor de  ). Converge para   para cualquier  .

Cuando  , obtenemos la serie geométrica mencionada anteriormente.

Funciones trigonométricasEditar

Las función trigonométricas usuales y sus inversas tienen como series de Maclaurin:

 

Todos los ángulos están expresados en radianes. Los números   son los números de Bernoulli mientas que   son los números de Euler.

Funciones hiperbólicasEditar

Las funciones hiperbólicas tienen como series de Maclaurin

 

donde los números   son los números de Bernoulli.

Función W de LambertEditar

 

Serie de Taylor en varias variablesEditar

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de más de una variable como

 

Como ejemplo, para una función de 2 variables  , la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto   es:

 

donde los subíndices denotan las respectivas derivadas parciales, esto es

 

Una expansión en serie Taylor de segundo orden para funciones escalares de más de una variable puede ser escrito de manera compacta como

 

donde   es el gradiente de   en   y   es la matriz hessiana. Otra forma:

 

AplicacionesEditar

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, la regla de l'Hôpital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
  2. Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
  3. «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2006. Consultado el 9 de julio de 2006. 

Enlaces externosEditar