Derivación (matemática)

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p\in M$, llamaremos derivación en el punto $p_{}^{}$ a

$\forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R}$ aplicación $\mathbb {R} -$lineal, es decir:

$\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,$

• $\delta _{p}^{}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^{},$

• $\delta _{p}^{}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^{}.$

y tal que $\delta _{p}(f\cdot g)=$$\delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),$ $\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)$, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

${\mathcal {F}}(M)$ es el conjunto de funciones diferenciables en $M_{}^{}$, y es un $\mathbb {R} -$álgebra conmutativa, (es un $\mathbb {R} -$espacio vectorial).

$f_{|p}^{}$ es equivalente a $f(p)_{}^{}$, es decir, $f_{}^{}$ evaluado en el punto $p_{}^{}.$

Ejemplos de derivación

La derivada parcial

Sea $M=\mathbb {R} ^{n}$ y $p\in M$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

${\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}$

Demostración

Veamos primero que es $\mathbb {R} -$lineal, es decir, que $\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R}$ vemos que:

• ${\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},$

• ${\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.$

Veamos finalmente que es una derivación:

${\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.$

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional

Sea $M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1$, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

${\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.$

Derivación en variedades

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p\in M$, llamaremos espacio tangente a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ al $\mathbb {R} -$espacio vectorial de las derivaciones de $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$, notado por ${\mathcal {T}}_{p}M$, y sus elementos se llamaran vectores tangentes a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}.$

Consecuencias

Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M$, $\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ y $f\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\exists {}U_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f(x)=\lambda$, $\forall x\in M$, entonces tenemos que $\delta _{p}^{}f=0.$

Demostración

Por linealidad de $\delta _{p}^{}$ tenemos

$\delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=$ $\lambda \delta _{p}(1),$

aquí aplicando la condición de derivación a $\delta _{p}^{}(1)$ tenemos

$\delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=$ $\delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^{}(1)=$ $\delta _{p}(1)+\delta _{p}^{}(1),$

de simplificar, este último, resulta $\delta _{p}^{}(1)=0$ aplicadolo al anterior resulta que $\delta _{p}^{}(f)=0.$

Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${\mathcal {C}}^{\infty }$:

• la función meseta $\rho$ asociada a $(p,V)_{}^{}$, donde $\rho (x)=1,$ $\forall x\in k\subset V,\;k$ compacto cuyo interior contiene a $p_{}^{}.$

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$, $f\in {\mathcal {F}}(M)$ y $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$, tenemos que:

$\delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).$

Demostración

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que $\delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=$$\delta _{p}^{}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)$, por la propiedad anterior tenemos que $\delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=$$0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^{}(f)=$$\delta _{p}^{}(f).$

Propiedad

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ y $f,g\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\exists {}V_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f_{|V}^{}=g_{|V}$, entonces tenemos que $\delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g)$.

Demostración

Sea $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$, tenemos así que $\rho \cdot f=\rho \cdot g_{}^{}$ en todo $M_{}^{}$ también $\rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)$ por tanto $\delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)$ y por la propiedad anterior tenemos que $\delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g).$

Tipos de derivaciones

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

• Derivada de una aplicación entre variedades
• Derivada exterior
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Diferencial de una función
• Derivada parcial
• Derivada funcional

Referencias

Bibliografía

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.

• Datos: Q8354970