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Derivación.gif

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivaciónEditar

Sea   una variedad diferenciable y  , llamaremos derivación en el punto   a

  aplicación  lineal, es decir:
 
  •  
  •  
y tal que     , es decir, que cumple la regla de Leibniz.
Observación
  es el conjunto de funciones diferenciables en  , y es un  álgebra conmutativa, (es un  espacio vectorial).
  es equivalente a  , es decir,   evaluado en el punto  

Ejemplos de derivaciónEditar

La derivada parcialEditar

Sea   y  , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

 
Demostración
Veamos primero que es  lineal, es decir, que   vemos que:
  •  
  •  
Veamos finalmente que es una derivación:
 
Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccionalEditar

Sea  , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

 

Derivación en variedadesEditar

Sea   una variedad diferenciable y  , llamaremos espacio tangente a   en   al  espacio vectorial de las derivaciones de   en  , notado por  , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a   en  

ConsecuenciasEditar

Propiedad de la derivación de una función localmente constanteEditar

Sea   una variedad diferenciable,  ,   y   tal que   entorno abierto en   donde  ,  , entonces tenemos que  

Demostración
Por linealidad de   tenemos
   
aquí aplicando la condición de derivación a   tenemos
     
de simplificar, este último, resulta   aplicadolo al anterior resulta que  

EjemploEditar

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase  :

  • la función meseta   asociada a  , donde     compacto cuyo interior contiene a  

Propiedad de la derivación del producto con la función mesetaEditar

Sea   una variedad diferenciable,  ,   y   una función meseta asociada a  , tenemos que:

 
Demostración
Aplicando la regla de Leibniz tenemos que   , por la propiedad anterior tenemos que    

PropiedadEditar

Sea   una variedad diferenciable,   y   tal que   entorno abierto en   donde  , entonces tenemos que  .

Demostración
Sea   una función meseta asociada a  , tenemos así que   en todo   también   por tanto   y por la propiedad anterior tenemos que  

Tipos de derivacionesEditar

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

ReferenciasEditar

BibliografíaEditar

  • Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.