Diferencial total

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En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

RepresentaciónEditar

En cálculo vectorial, la diferencial total de una función   se puede representar de la siguiente manera:

 

donde f es una función  .

Derivada totalEditar

La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x,y,z) que dependen de otras variables x= x(t), y=y(t), z= z(t). En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:

 

donde x' es la derivada respecto a t de x,   al igual que y', z'.

Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo   que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo   Entonces derivar respecto al tiempo queda

 

EjemploEditar

Una función sencilla:

 
 
 

Ejemplo 2Editar

Un ejemplo algo más complejo y más ilustrativo podría ser:

 
 
 
 

Ecuaciones en diferenciales totalesEditar

Dadas   dos funciones con   y   continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío.

La ecuación

 

se llama ecuación en diferenciales totales.[1]

Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y sólo si

 

Estas ecuaciones también se llaman ecuación diferencial exacta.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Piskunov, N. (1984). Cálculo diferencial e integral (3.ª edición). Buenos Aires: Suramericana. p. 29. 

Enlaces externosEditar