Distribución de objetos en recipientes

Dentro de la teoría combinatoria algunos problemas de recuento y un gran número de cuestiones combinatorias pueden ser resueltas y descritas en forma de distribuciones de objetos en recipientes («bolas en cajas»).

Existen numerosos casos dentro de este tipo de distribuciones, ya que se clasifican según si los objetos o las cajas son distinguibles o indistinguibles y también teniendo en cuenta el tipo de aplicación a la que están asociadas, es decir, las diferentes restricciones sobre las distribuciones.[1]

Teniendo en cuenta lo anterior, nos encontramos con algunos de los siguientes casos, llamados modelos de ocupación:

Objetos y recipientes distinguibles (numerables)

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Consideramos   cajas distinguibles y   bolas distinguibles.

Y también, teniendo en cuenta las aplicaciones de un conjunto de   elementos en uno de   elementos, dicho de otra manera, las posiciones que pueden tomar los objetos en las diferentes cajas. Algunos de los casos que nos encontramos son:

  • Que puedan quedar cajas vacías (aplicación cualesquiera), para ello   puede tomar cualquier valor y puede haber más de un objeto en una caja:
  • Ateniendo a la condición de que haya un único objeto por recipiente (aplicación inyectiva), posible solo si  , mayor o igual número de cajas que de bolas:
  • Con la condición anterior de que haya un único objeto por recipiente y que además no haya ningún recipiente vacío (aplicación biyectiva), tiene que ocurrir que  , mismo número de cajas que de bolas:[2]

Objetos indistinguibles y recipientes distinguibles

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Consideramos   bolas indistinguibles y   cajas distinguibles. Ahora no se hace la pregunta de «qué bolas van en cada una de las cajas», ya que no las podemos numerar. Los casos destacados son:

  • En el caso de que puedan quedar cajas vacías y en donde   puede tomar cualquier valor, es decir, sin ninguna restricción (aplicación cualesquiera):
  • Con la condición de que no se permitan cajas vacías (aplicación sobreyectiva), en donde  , mayor número de objetos que de recipientes:
    •  
  • Con la condición de que haya un único objeto por recipiente (aplicación inyectiva), en donde tiene que ocurrir que   :

Objetos y recipientes indistinguibles

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Tenemos   bolas y   cajas. En este caso ambas son indistinguibles, no numerables. Estas distribuciones corresponden con las particiones del entero  :

  • Suponiendo de que no haya cajas vacías, siendo  . La solución es el número de particiones de   con exactamente   partes:
    •  
  • Si nos fijamos en el número de cajas, la solución es el número total de particiones de  :
    •  
Obteniendo   y   a partir de Reglas de recurrencia.

Objetos distinguibles y recipientes indistinguibles

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Consideramos   bolas distinguibles y   cajas indistinguibles. Las posibles situaciones que se pueden encontrar:

  • La aplicación sea "cualesquiera":
    • Los posibles casos de distribuciones se calculan mediante  
  • La aplicación sea inyectiva, por lo que cada objeto solo puede estar en un recipiente:
    • El número de casos de distribuciones es de 1
  • La aplicación sea sobreyectiva, cada recipiente tiene al menos un objeto:
  • La aplicación sea biyectiva, por lo tanto a cada uno de los recipiente se le asigna un solo objeto:
    • El número de casos posibles es de 1

Véase también

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Enlaces externos

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Referencias

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  1. Franco Brañas, José Ramón (2008). Manual de Combinatoria. Editorial @becedario. 
  2. Grimaldi, Ralph (1997). Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial S.A. Alhambra Mexicana.