Elemento maximal y minimal

Elemento de un conjunto
Conjunto acotado 7A31.svg

En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un elemento maximal de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A que no está por debajo (en el orden correspondiente) de ningún otro. El término elemento minimal se define de manera dual. En la figura, dado el conjunto A, los elementos d, h y l son maximales de A, los elementos a, h y k son minimales, los elementos maximal y minimal no tienen por qué ser únicos en el conjunto. Además, el elemento h de la figura es maximal y minimal al mismo tiempo.

DefiniciónEditar

Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado; mP es un elemento maximal de P si el único xP tal que mx es x = m.

La definición de elemento minimal se obtiene reemplazando ≤ por ≥.

PropiedadesEditar

A primera vista parecería que m debería ser un elemento máximo, lo que no es siempre cierto: la definición de elemento maximal es algo más débil. De hecho, pueden existir elementos maximales sin que haya un máximo. La razón es que, en general, ≤ es sólo un orden parcial en P; si m es un maximal y pP, cabe la posibilidad de que ni pm ni mp, con lo que m no sería máximo. Esto permite, además, que haya más de un elemento maximal en un conjunto.

Sin embargo, si mP es maximal y P tiene un máximo, se cumplirá que máx(P) ≤ m; por definición de máximo se debe tener m ≤ máx(P) y por lo tanto m = máx(P); en otras palabras, un máximo, si existe, es también el único maximal.

No es difícil ver que si ≤ es un orden total en P, las nociones de máximo y maximal coinciden: sean mP un elemento maximal, y pP arbitrario; por la condición de orden total, o bien pm o bien mp; en el segundo caso se tendría p = m por definición de maximal, con lo cual pm, y por consiguiente, m = máx(P).

No siempre existen los elementos maximales, ni siquiera en el caso en que P esté totalmente ordenado.

EjemplosEditar

  • Sea P = [0, ∞[ ⊆ R. Para todo mP se tiene x = m + 1 ∈ P pero m < x, con lo que ningún m puede ser maximal.
  • Sea P = {qQ | 1 ≤ q² ≤ 2}; puesto que la raíz cuadrada de 2 no es racional, este conjunto no tiene elemento maximal.
  • Sea A un conjunto con al menos dos elementos, y sea P = {{a} | aA}, parcialmente ordenado por inclusión. Todo elemento de P es a la vez maximal y minimal, y para cualesquiera {a}, {b} ∈ P distintos, ni {a} ⊆ {b}, ni {b} ⊆ {a} (con lo que no hay elemento máximo).
  • Sea P = {(x,y) ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4}, tomando (a, b) ≤ (c, d) si ac y bd. Entonces P tiene un único elemento maximal, (4,4), que a la vez es máximo.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar