Espacio contráctil

La noción de espacio contráctil o contractible es muy importante en topología algebraica, ya que representa la clase más sencilla de espacios desde el punto de vista de la homotopía.​​

Algunos espacios contráctiles y no contráctiles. A, B y C son contráctiles; D, E y F no lo son.

En topología, un espacio topológico $X$ es contráctil si tiene el tipo de homotopía de un punto, es decir, si existe una equivalencia homotópica entre el espacio $X$ y un espacio $\{q\}$ formado por un solo punto.​Esto significa, por definición, que existan dos funciones continuas de $X$ a $\{q\}$ y viceversa que compuestas sean homótopas a la identidad de cada espacio.

En un espacio topológico contráctil $X$ o contractible la aplicación identidad $1_{X}:X\to X$ es homótopa a alguna aplicación constante $c:X\to X$ tal que $c(x)=p$ con $p\in X$ para cualquier $x\in X$. Intuitivamente, un espacio contráctil puede ser deformado continuamente hasta convertirlo en un punto.​ ​ ​ De hecho, esta propiedad es equivalente a la definición y se puede tomar como definición alternativa, como se demuestra a continuación.

Definiciones

La definición que se ha dado antes es que $X$ es contráctil si es homotópicamente equivalente a un conjunto $\{q\}$ formado por un solo punto. Esto significa que existan dos funciones continuas $f\colon X\rightarrow \{q\}$ y $g\colon \{q\}\rightarrow X$ tales que $f\circ g\sim \operatorname {id} _{\{q\}}$ y $g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}$ donde $\sim$ denota la relación de homotopía.

En este caso, se tiene que la identidad de $X$ es homótopa a una constante. En efecto, $g$ es una aplicación constante igual a $g(q)$ y, por lo anterior, $\operatorname {id} _{X}\sim g\circ f$, y esta última aplicación es la aplicación $X\rightarrow X$ constante igual a $g(q)$. $\quad \square$

El recíproco también es cierto: si la identidad de $X$ es homótopa a una constante (pongamos igual a $p\in X$), entonces $X$ es homotópicamente equivalente a un punto. Para ver esto último tenemos que construir dos funciones continuas $f\colon X\rightarrow \{q\}$ y $g\colon \{q\}\rightarrow X$ tales que $f\circ g\sim \operatorname {id} _{\{q\}}$ y $g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}$. La función $f$ sólo puede ser la constante igual a $q$, y para definir $g$ sólo tenemos que definir $g(q)$. Tomamos $g(q)=p\in X$. Entonces $f\circ g$ es la identidad en $\{q\}$; en particular, $f\circ g\sim \operatorname {id} _{\{q\}}$. Por otro lado, $g\circ f$ es la constante igual a $p$, que es, por hipótesis, homótopa a la identidad de $X$. Con esto tenemos todo lo que queríamos. $\quad \square$

En conclusión, tenemos dos formas equivalentes de definir espacio contráctil:

1. Un espacio contráctil es aquel homotópicamente equivalente a un punto.
2. Un espacio contráctil es aquel en que la aplicación identidad es homótopa a una constante.

Propiedades

Un espacio contráctil $X$ verifica las siguientes propiedades:

• Es conexo por caminos.

Demostración

Dados dos puntos $p,q\in X$, construimos un camino continuo entre ellos. Por ser $X$ contráctil, la identidad es homótopa a una constante, digamos que igual a $c\in X$. Esto quiere decir que existe una aplicación continua (homotopía) $F\colon X\times [0,1]\rightarrow X$ tal que $F(x,0)=x,\ F(x,1)=c$ para todo $x\in X$. Construimos un camino de $p$ a $c$. Simétricamente, podremos construir un camino de $q$ a $c$ e, invirtiéndolo, uno de $c$ a $q$. Concatenando el primero y este último obtenemos un camino (continuo por el lema del pegado) de $p$ a $q$, como queremos. El camino de $p$ a $c$ es el siguiente: $\sigma \colon [0,1]\rightarrow X$ definido como $\sigma (t)=F(p,t)$, que es continuo por serlo $F$. En efecto, tenemos que $\sigma (0)=F(p,0)=p$ y $\sigma (1)=F(p,1)=c$. $\quad \square$

• Su grupo fundamental de homotopía es trivial. Esto es inmediato a partir de que el grupo fundamental se conserve por equivalencia homotópica y que un espacio contráctil sea equivalente homotópicamente a un punto.
• Como consecuencia de las dos propiedades anteriores, es simplemente conexo.

Ejemplos

• El espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ es contráctil. De hecho, cualquier conjunto estrellado $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ lo es. Para verlo, basta tomar $p\in X$ un centro de la estrella y considerar la homotopía $F\colon X\times [0,1]\rightarrow X$, $F(x,t)=tp+(1-t)x$ entre la identidad en $X$ y la constante igual a $p$ (está bien definida porque cada segmento entre $x\in X$ y $p$ está totalmente contenido en $X$ por ser estrellado de centro $p$). Esto significa, por la definición 2. anterior, que $X$ es contráctil.
• La esfera n-dimensional $S^{n}$ no es contráctil.
• La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones es contráctil como consecuencia del teorema de Kuiper.

Bibliografía

• Ayala-Domínguez-Quintero (2002). Elementos de la teoría de homología clásica. Universidad de Sevilla. Secretariado de publicaciones. ISBN 84-472-0705-6. 

• Datos: Q230689