Homotopía

concepto en en topología algebraica

En topología, y más precisamente en topología algebraica, dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro se dicen homótopas (del griego homos = mismo y topos = lugar) si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra.

Los dos caminos en líneas punteadas que se muestran arriba son homótopos en relación a sus extremos. La animación muestra una posible homotopía entre ellos.

Definición formalEditar

Dos aplicaciones continuas   se dicen homótopas si existe otra aplicación (continua también)   tal que:

 
 


Un ejemplo importante son las diferentes clases (de homotopía) de mapeos del círculo a un espacio  

 

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental.

  • Si dos aplicaciones f y g son homótopas, se escribe fg; lo que significa esta relación es efectivamente una relación de equivalencia sobre el conjunto de aplicaciones continuas de X en Y, Las clases de equivalencia se denominan clases de homotopía de aplicaciones.[1]

Tipo homotópicoEditar

Se dice que dos espacios X, Y tienen el mismo tipo de homotopía, si existe un par de aplicaciones   y   tales que   y   son homótopas a   y   respectivamente.

Suele ser utilizado el símbolo:  , para indicar que los objetos f y g son homótopos.

Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo de homotopía. Un espacio topológico que tiene el mismo tipo de homotopía que un conjunto unitario se dice contráctil.

UsosEditar

Teorema fundamental del álgebraEditar

La homotopía es la fuente de muchas demostraciones. Un ejemplo famoso es el Teorema fundamental del álgebra, que indica que cualquier polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz en ℂ4 .

Para demostrarlo, consideramos un polinomio unitario P que no tiene raíz en ℂ y probaremos que su grado n es cero. Para cada r real positivo , definimos el bucle αr mediante :

 

Por definición, αr es un bucle definido en el círculo. Si r es igual a 0, obtenemos el bucle constante igual a 1. Como la función que asocia αr( t ) con r y t es continua, todos los bucles αr son homotópicos en un punto.

Sea (aj) la secuencia de los coeficientes de P y ρ un número real mayor que 1 y que la suma Σ|aj| de módulos de coeficientes de P . Si z es un complejo de módulo ρ,

 


Definimos el polinomio Ps y el bucle βs mediante:

 

Las desigualdades (1) muestran que si | s | ≤ 1, el polinomio Ps no admite una raíz de módulo ρ por lo que el bucle βs está bien definido. El bucle β0 realiza n vueltas alrededor del origen, según el párrafo anterior. Dado que la función que asocia β s(t) con s y t es continua, este bucle β0 es homotopico a β1 = αρ. Como este último es homotópico en un punto, es decir que hace 0 vueltas alrededor del origen, n es igual a 0.

Grupo fundamentalEditar

Si X es un espacio topológico, podemos componer dos bucles de la misma base p (es decir, del mismo origen y del mismo final p ) α1 y α2 construyendo un bucle que primero atraviese la trayectoria de α1 , luego el de α2. Esta composición es compatible con la relación de equivalencia que es homotópica a. Cociente de esta relación de equivalencia, obtenemos una estructura de grupo denominada grupo fundamental o grupo de Poincaré.[2]​ Esta noción se generaliza y permite definir una infinidad degrupos de homotopía.

Este grupo está en el origen de las manifestaciones. Uno de los más famosos es el del Teorema del punto fijo de Brouwer en la dimensión dos, que indica que cualquier mapa continuo del disco en sí mismo admite un punto fijo.

ReferenciasEditar

  1. Munkres: "Topología"
  2. Lannes 2004, p. 8 ou (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, 2001, 544 p. ISBN 978-0-521-79540-1.

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar