Diferencia entre revisiones de «Teorema de Heine-Borel»

Si <math>E</math> no tuviera puntos de acumulación en <math>K</math>, entonces <math>\forall a\in K</math>, <math> \exists \varepsilon > 0</math> tal que <math>B_{\varepsilon}(a)-a</math> no contiene puntos de <math>E</math> donde <math>B_{\varepsilon}</math> es una bola abierta de radio <math> \varepsilon </math>. Es claro que el conjunto de estas bolas forman un recubrimiento abierto de <math>K</math> que por ser compacto admitiría un subrecubrimiento finito. PeroComo esto<math>E\subseteq esK<\math>, imposibleeste porquesubrecubrimiento también seríacubriría a <math>E<\math>. Llamemos <math>S\subset K<\math> a un subconjunto finito de <math>K<\math> tal que <math>\{B(k,r_k)\}_{k\in S}<\math> es un subrecubrimiento finito de <math>E</\math>. Si ahora tomamos <math>e_0\in E\setminus S<\math>, lotenemos que contradiría<math>\forall elk\in hechoS<\math>, de<math>e_0\notin B(k,r_k)<\math>. Esto implica que <math>Ee_0\notin \bigcup\limits_{k\in S} B(k,r_k)</\math>, escontradiciendo infinitoque <math>\{B(k,r_k)\}_{k\in S}$ cubra a <math>E<\math>.