Diferencia entre revisiones de «Matriz identidad»
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En [[álgebra lineal]], la '''matriz identidad''' es una [[matriz (matemática)|matriz]] que cumple la propiedad de ser el [[elemento neutro]] del [[producto de matrices]]. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna ''i''-ésima de una matriz identidad es el [[vector unitario]] <math>e_i \,</math> de una [[base vectorial]] inmersa en un [[espacio Euclídeo]] de [[dimensión]] ''n''. Toda [[Matriz (matemáticas)|matriz]] representa una [[aplicación lineal]] entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. La '''matriz identidad''' se llama así porque representa a la [[aplicación identidad]] que va de un [[espacio vectorial]] de dimensión finita a sí mismo.
== Definición ==
Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. <math>I_n \,</math>, la matriz identidad de tamaño <math>n \,</math>, se define como la [[matriz diagonal]] que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la [[diagonal principal]], y 0 en el resto. Así,
:<math>
I_1 = \begin{pmatrix}
1 \\\end{pmatrix}
,\
I_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\\end{pmatrix}
,\
I_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\\end{pmatrix}
,\ \cdots ,\
I_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\\end{pmatrix}
</math>
Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:
:<math> I_n = \mathrm{diag}(1,1,...,1) \,</math>
Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como <math>I \,</math>.
También se puede escribir usando la notación [[delta de Kronecker]]:
:<math>I_{ij} = \delta_{ij} \,</math>
o, de forma aún más sencilla,
:<math>I = (\delta_{ij}) \,</math>
La matriz identidad de orden ''n'' puede ser también considerada como la [[matriz permutación]] que es [[elemento neutro]] del grupo de matrices de permutación de orden ''n''!.
== Véase también ==
* [[Matriz unitaria]]
* [[Matriz cero]]
* [[Elemento neutro]]
== Enlaces externos ==
*{{planetmath reference|title=Identity matrix|id=1223}}
[[Categoría:Matrices]]
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