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La '''teoría de la rigidez''', o teoría de la restricción topológica, es una herramienta para predecir propiedades de redes complejas (como los [[Vidrio|vidrios]]) en función de su composición. Fue introducido por Phillips en 1979 <ref name="phillips1979">{{Cita publicación|título=Topology of covalent non-crystalline solids I: Short-range order in chalcogenide alloys|apellidos=Phillips|nombre=J. C.|publicación=Journal of Non-Crystalline Solids|volumen=34|número=2|páginas=153–181|bibcode=1979JNCS...34..153P|doi=10.1016/0022-3093(79)90033-4|año=1979}}</ref> y 1981, <ref>{{Cita publicación|título=Topology of covalent non-crystalline solids II: Medium-range order in chalcogenide alloys and A-Si(Ge)|apellidos=Phillips|nombre=J. C.|fecha=1981-01-01|publicación=Journal of Non-Crystalline Solids|volumen=43|número=1|páginas=37–77|issn=0022-3093|doi=10.1016/0022-3093(81)90172-1}}</ref> y refinado por Thorpe en 1983. <ref name="thorpe1983">{{Cita publicación|título=Continuous deformations in random networks|apellidos=Thorpe|nombre=M. F.|publicación=Journal of Non-Crystalline Solids|volumen=57|número=3|páginas=355–370|bibcode=1983JNCS...57..355T|doi=10.1016/0022-3093(83)90424-6|año=1983}}</ref> Inspirada en el estudio de la [[Rigidez estructural|estabilidad de las armaduras mecánicas]], iniciado por [[James Clerk Maxwell]], <ref>{{Cita publicación|título=XLV. On reciprocal figures and diagrams of forces|apellidos=Maxwell|nombre=J. Clerk|fecha=April 1864|publicación=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|volumen=27|número=182|páginas=250–261|issn=1941-5982|doi=10.1080/14786446408643663}}</ref> y en el trabajo fundamental sobre la estructura del vidrio realizado por [[William H. Zachariasen|William Houlder Zachariasen]], <ref>{{Cita publicación|título=THE ATOMIC ARRANGEMENT IN GLASS|apellidos=Zachariasen|nombre=W. H.|fecha=October 1932|publicación=Journal of the American Chemical Society|volumen=54|número=10|páginas=3841–3851|idioma=en|issn=0002-7863|doi=10.1021/ja01349a006}}</ref> esta teoría reduce las redes moleculares complejas a nodos (átomos, moléculas, proteínas, etc.) restringidas por varillas (restricciones químicas), filtrando así los detalles microscópicos que finalmente no afectan las propiedades macroscópicas. P. K. Gupta y A. R. Cooper desarrollaron una teoría equivalente en 1990, donde en lugar de nodos que representan átomos, representaban [[Politopo|politopos]] unitarios. <ref>{{Cita publicación|título=Topologically disordered networks of rigid polytopes|apellidos=Gupta|nombre=P. K.|apellidos2=Cooper|nombre2=A. R.|fecha=1990-08-02|publicación=Journal of Non-Crystalline Solids|volumen=123|número=1|páginas=14–21|serie=XVth International Congress on Glass|issn=0022-3093|doi=10.1016/0022-3093(90)90768-H}}</ref> Un ejemplo de esto sería el tetraedro de SiO en [[Cuarzo fundido|sílice]] vítrea pura. Este estilo de análisis tiene aplicaciones en biología y química, como comprender la adaptabilidad en las redes de interacción proteína-proteína. <ref>{{Cita publicación|url=https://archive.org/details/arxiv-1402.2304|título=Rigidity and flexibility in protein-protein interaction networks: a case study on neuromuscular disorders|apellidos=Sharma|nombre=Ankush|apellidos2=Ferraro MV|fecha=February 2014|apellidos3=Maiorano F|apellidos4=Blanco FDV|apellidos5=Guarracino MR|arxiv=1402.2304}}</ref> La teoría de la rigidez aplicada a las redes moleculares que surgen de la expresión fenotípica de ciertas enfermedades puede proporcionar información sobre su estructura y función.
== Derivación de condición isostática ==
Por lo tanto, la teoría de la rigidez permite la predicción de composiciones isostáticas óptimas, así como la dependencia de la composición de las propiedades del vidrio, mediante una simple enumeración de restricciones. En particular, la teoría jugó un papel importante en el desarrollo de [[Gorilla Glass|Gorilla Glass 3]].<ref name="gorillaglass">{{Cita web|url=http://ceramics.org/ceramic-tech-today/gorilla-glass-3-explained-and-it-is-a-modeling-first-for-corning|título=Gorilla Glass 3 explained (and it is a modeling first for Corning!)|fechaacceso=24 de enero de 2014|autor=Wray|nombre=Peter|sitioweb=Ceramic Tech Today|editorial=The American Ceramic Society}}</ref> Extendida a vidrios a temperatura finita<ref name="Smedskjaer2010">{{Cita publicación|título=Quantitative Design of Glassy Materials Using Temperature-Dependent Constraint Theory|apellidos=Smedskjaer|nombre=M. M.|apellidos2=Mauro|fecha=September 2010|publicación=Chemistry of Materials|volumen=22|número=18|páginas=5358–5365|doi=10.1021/cm1016799|apellidos3=Sen|apellidos4=Yue}}</ref> y presión finita,<ref name="bauchy2013">{{Cita publicación|url=http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.110.095501|título=Transport Anomalies and Adaptative Pressure-Dependent Topological Constraints in Tetrahedral Liquids: Evidence for a Reversibility Window Analogue|apellidos=Bauchy|nombre=M.|apellidos2=Micoulaut|fecha=February 2013|publicación=Phys. Rev. Lett.|volumen=110|número=9|página=095501|bibcode=2013PhRvL.110i5501B|doi=10.1103/PhysRevLett.110.095501|pmid=23496720}}</ref> la teoría de rigidez se ha utilizado para predecir la temperatura de transición vítrea, la viscosidad y las propiedades mecánicas.<ref name="mauro2011">{{Cita publicación|url=http://www.lehigh.edu/imi/pdf/Lecture_9_READING_Micoulaut_Atomistics_Glass_Course.pdf|título=Topological constraint theory of glass|apellidos=Mauro|nombre=J. C.|fecha=May 2011|publicación=Am. Ceram. Soc. Bull.}}{{Enlace roto}}</ref> También se aplicó a [[Materia granular|materiales granulares]] <ref name="moukarzel1998">{{Cita publicación|url=http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.81.1634|título=Isostatic Phase Transition and Instability in Stiff Granular Materials|apellidos=Moukarzel|nombre=Cristian F.|fecha=March 1998|publicación=Physical Review Letters|volumen=81|número=8|página=1634|bibcode=1998PhRvL..81.1634M|doi=10.1103/PhysRevLett.81.1634}}</ref> y [[proteína]]s.<ref name="phillips2004">{{Cita publicación|título=Constraint theory and hierarchical protein dynamics|apellidos=Phillips|nombre=J. C.|publicación=J. Phys.: Condens. Matter|volumen=16|número=44|página=S5065-S5072|bibcode=2004JPCM...16S5065P|doi=10.1088/0953-8984/16/44/004|año=2004}}</ref> ▼
Las condiciones de isostaticidad se pueden derivar observando los grados internos de libertad de una red 3D general. Para <math>N</math> nodos, <math>N_c</math> restricciones, y <math>M_{eq}</math> ecuaciones de equilibrio, el número de grados de libertad es
<math>F=3N-N_c-M_{eq}</math>
En 2001, Boolchand y colaboradores encontraron que las composiciones isostáticas en aleaciones vítreas, predichas por la teoría de la rigidez, existen no solo en una única composición de umbral; más bien, en muchos sistemas abarca un rango pequeño y bien definido de composiciones intermedias a los dominios flexible (menos restringido) y rígido (sobre restringido).<ref name="boolchand2001">{{Cita publicación|url=http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA400350#page=124|título=Discovery of the intermediate phase in chalcogenide glasses|apellidos=Boolchand|nombre=P.|apellidos2=Georgiev, Goodman|publicación=Journal of Optoelectronics and Advanced Materials|volumen=3|número=3|páginas=703–720|año=2001}}</ref> Esta ventana de vidrios óptimamente restringidos se denomina así la ''fase intermedia'' o la ''ventana de reversibilidad'' , ya que se supone que la formación del vidrio es reversible, con una histéresis mínima, dentro de la ventana.<ref name="boolchand2001" /> Su existencia se ha atribuido a la red vítrea que consiste casi exclusivamente en una población variable de estructuras moleculares isostáticas.<ref name="bauchy2013">{{Cita publicación|url=http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.110.095501|título=Transport Anomalies and Adaptative Pressure-Dependent Topological Constraints in Tetrahedral Liquids: Evidence for a Reversibility Window Analogue|apellidos=Bauchy|nombre=M.|apellidos2=Micoulaut|fecha=February 2013|publicación=Phys. Rev. Lett.|volumen=110|número=9|página=095501|bibcode=2013PhRvL.110i5501B|doi=10.1103/PhysRevLett.110.095501|pmid=23496720}}</ref><ref name="bauchy2013b">{{Cita publicación|url=http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.110.165501|título=Compositional Thresholds and Anomalies in Connection with Stiffness Transitions in Network Glasses|apellidos=Bauchy|nombre=M.|apellidos2=Micoulaut|fecha=April 2013|publicación=Physical Review Letters|volumen=110|número=16|página=165501|bibcode=2013PhRvL.110p5501B|doi=10.1103/PhysRevLett.110.165501|pmid=23679615|apellidos3=Boero|apellidos4=Massobrio}}</ref> La existencia de la fase intermedia sigue siendo un tema controvertido pero estimulante en la ciencia del vidrio. ▼
El término de nodo toma un factor de 3 debido a que existen grados de libertad transnacionales en las direcciones x, y y z. Por un razonamiento similar, <math>M_{eq}=6</math> en 3D, ya que hay una ecuación de equilibrio para los modos de traslación y rotación en cada dimensión. Esto produce
== Referencias ==▼
<math>F=3N-N_c-6</math>
Esto se puede aplicar a cada nodo del sistema normalizando por el número de nodos
<math>f=3-n_c</math>
donde <math>f=\frac{F}{N}</math>, <math>n_c=\frac{N_c}{N}</math>, y el último término se ha eliminado desde entonces para sistemas atomísticos <math>6<<N</math>. Las condiciones isostáticas se logran cuando <math>f=0</math>, dando el número de restricciones por átomo en la condición isostática de <math>n_c=3</math>.
Una derivación alternativa se basa en analizar el [[Módulo de cizalladura|módulo de corte]] <math> G </math> de la red 3D o estructura sólida. La condición isostática, que representa el límite de la estabilidad mecánica, es equivalente a establecer <math> G =0 </math> en una teoría microscópica de la elasticidad que proporciona <math> G </math> en función del número de nodos de coordinación interna y del número de grados de libertad. El problema fue resuelto por Alessio Zaccone y E. Scossa-Romano en 2011, quienes derivaron la fórmula analítica para el módulo de corte de una red 3D de resortes de fuerza central (restricciones de estiramiento de enlace): <math> G=(1/30)\kappa R_{0}^{2}(z-2d)</math> . <ref>{{Cita publicación|título=Approximate analytical description of the nonaffine response of amorphous solids.|apellidos=Zaccone|nombre=A.|apellidos2=Scossa-Romano|nombre2=E.|publicación=Physical Review B|volumen=83|página=184205|doi=10.1103/PhysRevB.83.184205|año=2011|arxiv=1102.0162}}</ref> Aquí, <math> \kappa </math> es la constante del resorte, <math> R_{0} </math> es la distancia entre dos nodos vecinos más cercanos, <math> z </math> el número medio de coordinación de la red (tenga en cuenta que aquí <math> z N/ 2 \equiv N_c </math> y <math> z/2 \equiv n_c</math> ), y <math> 2d = 6</math> en 3D. Se ha derivado una fórmula similar para redes 2D donde el prefactor es <math> 1/18 </math> en vez de <math> 1/30 </math> . Por lo tanto, basado en la expresión Zaccone-Scossa-Romano para <math> G </math>, al establecer <math> G= 0 </math>, Se obtiene <math> z= 2d =6 </math>, o equivalentemente en notación diferente, <math> n_c = 3 </math>, que define la condición isostática de Maxwell. Se puede realizar un análisis similar para redes 3D con interacciones de flexión de enlace (además del estiramiento de enlace), lo que conduce a la condición isostática <math> z= 2.4 </math>, con un umbral más bajo debido a las restricciones angulares impuestas por la flexión del enlace. <ref>{{Cita publicación|título=ELASTIC DEFORMATIONS IN COVALENT AMORPHOUS SOLIDS.|apellidos=Zaccone|nombre=A.|publicación=Modern Physics Letters B|volumen=27|página=1330002|doi=10.1142/S0217984913300020|año=2013}}</ref>
== Desarrollos en la ciencia del vidrio ==
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En el contexto de los vidrios blandos, Alessio Zaccone y [[Eugene Terentjev]] han utilizado la teoría de la rigidez para predecir la temperatura de transición vítrea de los polímeros y proporcionar una derivación e interpretación a nivel molecular de la [[ecuación de Flory-Fox]]. <ref name="Terentjev">{{Cita publicación|título=Disorder-Assisted Melting and the Glass Transition in Amorphous Solids.|apellidos=Zaccone|nombre=A.|apellidos2=Terentjev|nombre2=E.|publicación=Physical Review Letters|volumen=110|número=17|páginas=178002|doi=10.1103/PhysRevLett.110.178002|pmid=23679782|año=2013|arxiv=1212.2020}}</ref> La teoría de Zaccone-Terentjev también proporciona una expresión para el [[Módulo de cizalladura|módulo de corte]] de los polímeros vítreos en función de la temperatura que está en concordancia cuantitativa con los datos experimentales, y es capaz de describir los muchos órdenes de caída de magnitud del [[Módulo de cizalladura|módulo de corte]] al acercarse a la transición vítrea.
▲En 2001,
▲== Referencias ==
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[[Categoría:Ciencia de materiales]]
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