Diferencia entre revisiones de «Número decimal periódico»
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** '''Por ejemplo: 17/4 = 4,25'''
== Fracción correspondiente a un número periódico ==
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
:<math>
\begin{array}{l}
\cfrac{1}{9} = 0,111111111111...\\
\cfrac{1}{7} = 0,142857142857...\\
\cfrac{1}{3} = 0,333333333333...\\
\cfrac{2}{27} = 0,074074074074...\\
\cfrac{7}{12} = 0,583333333333...
\end{array}
</math>
Dado un número periódico en su representación decimal, es posible
encontrar la fracción que lo produce (''fracción generatriz''). Ejemplo:
: <math>
\begin{array}{rcll}
x & = & 0,333333\ldots \\
10 x & = & 3,333333\ldots & \text{(multiplicando por 10 ambos miembros)} \\
10x -x & = & 3 & \text{(restando segunda fila menos primera fila)} \\
\end{array}
</math>
: <math>
10x - x = 3
\; , \quad
9x = 3
\; , \quad
x = \cfrac{3}{9}
\; , \quad
x = \cfrac{1}{3}
\; , \quad
\text{(simplificando)}
</math>
Otro ejemplo:
: <math>
x =
\frac{282,78}{99} =
\frac{28278}{9900} =
\frac{1571 \cdot 18}{550 \cdot 18} =
\frac{1571}{550}
</math>
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
* '''Número periódico puro''': La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
** [[numerador]]: la diferencia entre ''la parte anterior al período'' seguida del ''período'' (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos ''la parte anterior al período''.
** [[denominador]]: tantos '''9''' como cifras tiene el ''período''
: Ejemplo:
:: <math>
11,36\ 36\dots =
\frac{1136-11}{99} =
\frac{1125}{99}
</math>
* '''Número periódico mixto''': La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
** numerador: la diferencia entre ''la parte anterior al período'' seguida del ''período'' (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos ''la parte anterior al período''.
** denominador: tantos '''9''' como cifras tiene el ''período'', seguidos de tantos '''0''' como cifras tiene la parte no periódica.
: Ejemplo:
:: <math>
12,345\ 67\ 67\ 67\dots =
\frac{1234567-12345}{99000} =
\frac{1222222}{99000} =
\frac{611111}{49500}
</math>
=== Tipo de número periódico resultante ===
Dada una [[fracción irreducible]] (es decir, en la que numerador y denominador son [[Números primos|primos]] entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:
* Si al descomponer el denominador en [[Factor primo|factores primos]], estos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.
Por ejemplo:
: <math>
\cfrac{7}{20}
</math>
como:
: <math>
20 = 2 \cdot 2 \cdot 5
</math>
será exacta; en efecto
: <math>
\cfrac{7}{20} =
\cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} =
\cfrac{7}{2 \cdot 2 \cdot 5} \; \cfrac{5}{5} =
\cfrac{7 \cdot 5}{(2 \cdot 5)(2 \cdot 5)} =
\cfrac{35}{100} =
0,35
</math>
Otro ejemplo:
: <math>
\cfrac{7}{25}
</math>
como:
:<math>
25 = 5 \cdot 5
</math>
será exacta; en efecto:
: <math>
\cfrac{7}{25} =
\cfrac{7}{5 \cdot 5} =
\cfrac{7}{5 \cdot 5} \; \cfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} =
\cfrac{7 \cdot 2 \cdot 2}{(5 \cdot 2)(5 \cdot 2)} =
\cfrac{28}{100} =
0,28
</math>
* Si al descomponer el denominador en factores primos, estos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:
Por ejemplo:
: <math>
\cfrac{5}{21}
</math>
como:
: <math>
21 = 3 \cdot 7
</math>
será periódica pura; en efecto:
: <math>
\cfrac{5}{21} =
0,238095\ 238095\ 238095\dots
</math>
* Si al descomponer el denominador en factores primos, estos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:
Por ejemplo:
: <math>
\cfrac{5}{42}
</math>
como:
: <math>
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7
</math>
será periódica mixta, en efecto:
: <math>
\cfrac{5}{42} =
0,1\ 190476\ 190476\ 1904767\dots
</math>
== Véase también ==
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