Diferencia entre revisiones de «Forma cuadrática»

Una '''forma cuadrática''' o '''forma bilineal simétrica''' es una aplicación matemática que asigna a cada elemento de un [[espacio vectorial]] <math>\scriptstyle x \,</math> un elemento del cuerpo sobre el que está construido el espacio vectorial, de una manera que generaliza la operación <math>\scriptstyle ax^2 \,</math> un espacio vectorial de dimensión superior a 1.

Una '''forma cuadrática''' es una [[Aplicación matemática|aplicación]] '''<math>\omega \,</math>''' del [[espacio vectorial]] '''<math>E'''</math> en el [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] '''<math>\mathbb K'''</math>, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

:a) Existe una [[forma bilineal]] simétrica <math>\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,</math> de <math>\scriptstyle E \times E \,</math> en el cuerpo <math>\scriptstyle \mathbb{K} \,
</math> tal que <math>\scriptstyle \omega(x) = f(x,x) \,</math>. A <math>\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,</math> se le llama forma polar de <math>\scriptstyle \omega \,</math>.

:b) <math>\scriptstyle \omega(lx) = l^{2}\omega(x) \,</math>, <math>\scriptstyle \forall l \in K, \forall x \in E \,</math>. Además <math>\scriptstyle f(x,y) = (\frac{\omega(x+y) - \omega(x) - \omega(y)) / }{2} \,</math> es una forma bilineal simétrica definida en <math>\scriptstyle E \times E \,</math> y con valores en <math>\scriptstyle \mathbb{K} \,</math>. A <math>\scriptstyle \omega </math> se la llama forma cuadrática asociada a <math>\scriptstyle f(\cdot,\cdot) \,</math>.

Una forma cuadrática es por tanto una aplicación <math>\scriptstyle f(x,x)=x^\mathsf{T}\, B\ x \,</math> que se representa habitualmente mediante un [[polinomio]] de [[Polinomio cuadrático|segundo grado]] con varias variables (tantas como la dimensión del espacio vectorial).

Sin embargo, no han de confundirse: las Formasformas Bilinealesbilineales son aplicaciones de <math>\scriptstyle E \times E \to \mathbb{K} \,</math> mientras que las Formasformas Cuadráticascuadráticas son aplicaciones de <math>\scriptstyle E \to \mathbb{K} \,</math> .

*Cuando <math>\scriptstyle K=\mathbb{R} \,</math> se dice que la forma cuadrática es [[Número real|real]].

*Dos formas cuadráticas pueden ser:

**Linealmentelinealmente equivalentes en <math>\scriptstyle \R \,</math> si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.

**Linealmentelinealmente equivalentes en <math>\scriptstyle \mathbb{C} \,</math> si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.

**Métricamentemétricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.

El caso de que <math>\scriptstyle V = \R^{2} \,</math>, una forma cuadrática, puede representarse por un conjunto de [[cónica]]s. Si la signatura de la forma cuadrática es 2, entonces las curvas serán un conjunto de elipses, si la signatura es 1 será un conjunto de parábola y si la signatura es 0 entonces será un conjunto de hipérbolas.

Si pensamos en la factorización <math>A = P \Delta P^{T} \,</math> con <math>P \in \R^{n \times n}</math> una [[matriz ortogonal]] compuesta por [[Vector propio y valor propio|autovectores]] de <math>A \,</math> y <math>\Delta \in \R^{n \times n} \,</math> una [[matriz diagonal]] compuesta por los [[Vector propio y valor propio|autovalores]] de <math>A \,</math> en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a:

Si llamamos <math>y = P^{T}x \,</math>, entonces tenemos que <math>y^{T} = \left( P^{T}x \right)^{T} = x^{T}P \,</math>. Reemplazando en la ecuación anterior tenemos que:

Y sabemos que <math>\Delta = \operatorname{diag}[ \lambda_{1} \quad \cdots \quad \lambda_{n}]^{T}</math>, con <math>\lambda_{i}, \,\, 1 \le i \le n</math> [[Vector propio y valor propio|autovalor]] de <math>A \,</math>. Por lo que si el cambio de variables propuesto es tal que <math>y = [y_{1} \quad \cdots \quad y_{n}]^{T}</math> tenemos que:

Sean, <math>\lambda_{1} \ge \cdots \ge \lambda_{n} \,</math> los [[Vector propio y valor propio|autovalores]] de <math>A \,</math> ordenados de forma decreciente. Es decir, <math>\lambda_{\rm max} = \lambda_{1} \quad \wedge \quad \lambda_{\rm min} = \lambda_{n}</math>. Entonces tenemos que:

Por otro lado, observando bien el siguiente término, nos damos cuenta de que <math>\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = \|y\|^{2} \,</math>. Por lo tanto:,