Diferencia entre revisiones de «Orden total»
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En [[matemáticas]], un '''orden total''', '''orden lineal''', '''orden simple''', o simplemente '''orden''' en un [[conjunto]] ''X'' es una [[relación binaria]] sobre ''X'' que es [[relación antisimétrica|antisimétrica]], [[relación transitiva|transitiva]], y [[relación total|total]]; esto es, si se denota una tal relación por
* Si ''a''
* Si ''a''
* ''a''
La propiedad de totalidad de esta relación se puede también describir como que todo par de elementos son comparables bajo la relación.
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Un conjunto dotado de un orden total se denomina '''conjunto totalmente ordenado''', '''linealmente ordenado''', '''simplemente ordenado''', o '''cadena'''.
Nótese que la condición de ''totalidad'' implica [[relación reflexiva|reflexividad]], esto es, ''a''
Como alternativa, se puede definir un conjunto totalmente ordenado como un tipo particular de [[retículo (orden)|retículo]], en el que se tiene {a
Los conjuntos totalmente ordenados forman una [[subcategoría]] completa de la [[teoría de categorías|categoría]] de [[conjunto parcialmente ordenado|conjuntos parcialmente ordenados]], siendo los [[morfismo]]s funciones que respetan el orden, es decir, funciones ''f'' tales que si ''a''
== Orden total estricto ==
Para cada orden total (no estricto)
*''a'' < ''b'' [[ssi]] ''a''
*''a'' < ''b'' ssi no ''b''
El orden total estricto tiene las siguientes propiedades, para cualesquiera ''a'', ''b'', y ''c'' en ''X'':
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*Es un [[preorden total]].
Se puede trabajar a la inversa tomando < como una relación binaria transitiva y tricotómica; en ese caso, un orden total no estricto
*''a''
*''a''
Otros dos órdenes asociados son los complementos
== Ejemplos ==
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* Las letras del alfabeto con el orden alfabético usual: ''A'' < ''B'' < ''C'' < ...
* Cualquier [[subconjunto]] de un conjunto totalmente ordenado, restringiendo a él el orden del conjunto completo.
* Todo [[conjunto parcialmente ordenado]] ''X'' donde cualesquiera dos elementos se pueden comparar (i.e. para todo par de elementos ''a'' y ''b'' en ''X'', ''a''
* Todo conjunto de [[número cardinal|números cardinales]] o [[número ordinal|números ordinales]] (más
* Si ''X'' es un conjunto y ''f'' una [[función inyectiva]] de ''X'' a un conjunto totalmente ordenado, ''f'' induce un orden total en ''X'' tomando ''x'' < ''y'' si y solo si ''f''(''x'') < ''f''(''y'').
* El [[orden lexicográfico]] en el [[producto cartesiano]] de cualquier colección de conjuntos totalmente ordenados es en sí mismo un orden total. Por ejemplo, cualquier conjunto de palabras con el orden alfabético usual está totalmente ordenado, visto como un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto finito de símbolos, el alfabeto con un espacio vacío (que se define menor que cualquier letra), un número contable de veces.
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== Topología del orden ==
Para todo conjunto totalmente ordenado ''X'', se pueden definir los '''[[intervalo (matemáticas)|
Nótese que la definición formal de un conjunto ordenado como una pareja formada por un conjunto y un orden garantiza que la topología del orden sea única en cada conjunto ordenado. Sin embargo, en la práctica la distinción entre un conjunto con un orden definido en él y la pareja de conjunto y orden se obvia casi siempre. Para evitar entonces confusión cuando se usa más de un orden sobre un conjunto se habla de la topología del orden inducida por un orden particular. Por ejemplo, si '''N''' es el conjunto de los naturales, y < y > son las relaciones usuales de menor y mayor, se puede hablar de la topología del orden en '''N''' inducida por < y aquella inducida por > (en este caso resultan ser la misma, pero en general no será así).
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La preferencia por el uso de "cadena" para referirse a los subconjuntos mencionados probablemente viene de la importancia que éstos tienen en el [[lema de Zorn]].
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Un simple argumento de conteo basta para demostrar que todo conjunto finito totalmente ordenado (así como cualquier subconjunto) tiene un elemento mínimo, y por lo tanto está [[conjunto bien ordenado|bien ordenado]]. Sea por prueba directa, o porque todo buen orden es [[isomorfismo|isomorfo]] a un [[ordinal]], se puede demostrar que todo orden total finito es isomorfo a un [[segmento inicial]] de los naturales con el orden usual. En otras palabras, un orden total en un conjunto con ''k'' elementos induce una biyección con los primeros ''k'' naturales; por esto es común listar los órdenes totales finitos con números naturales y ordenarlos según el orden de los naturales.
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