Diferencia entre revisiones de «Quinto postulado de Euclides»
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== Enunciado ==
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[[Archivo:V postulato di euclide anim.gif|thumb|350px|'''Quinto postulado de Euclides''': Las rectas, al prolongarse, se intersecan.]]
# ''La suma de [las medidas de] los [[Ángulo|ángulos]] de cualquier [[triángulo]] es igual a [la suma de las medidas de] dos [[Ángulo recto|ángulos rectos]].'' <br />Elementos, I, 32. (Proposición ya conocida en tiempos de [[Aristóteles]], siglo IV a. C.)
# ''Las rectas paralelas son equidistantes'' (atribuido a [[Posidonio]], siglos I-II a. C.)
# ''Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una [[paralela]]''. Esta formulación es la más conocida y es debida al matemático griego [[Proclo]]. Se la conoce también como «postulado de las paralelas» (o [[axioma de Playfair]]<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI30.html Euclid's Parallel Postulate and Playfair's Axiom]</ref>).
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=== ¿Axioma o teorema? ===
Euclides presenta el anunciado como un [[axioma]]: su quinto postulado.
# ''Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.''
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# ''Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace que la suma de los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.''
Al leerlo tal y como lo escribió Euclides y dentro de su contexto, se observa que el V postulado es mucho más complicado en su formulación que los otros cuatro. Euclides mismo no se sirve de
{{cita|[...] la afirmación de que como convergen más y más a medida que se prolongan, llegarán alguna vez a encontrarse, es una afirmación verosímil pero no es necesaria a falta de un argumento que pruebe que esto es verdad acerca de las líneas rectas. Pues el hecho de que haya algunas líneas que se aproximan indefinidamente pero permanecen sin tocarse, por más improbable y paradójico que parezca, también es cierto y está completamente comprobado en relación con líneas de otro tipo. ¿Por qué en el caso de las rectas no es posible lo mismo que ocurre con las líneas mentadas?|Proclo, Comentarios a los ''Elementos''.}}
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Comenzaron esta tarea geómetras árabes (mientras, esa época en Europa eran tiempos obscuros)<ref name=zurdo87>{{Harvsp|Asimov|1972|loc=Aproximadamente en el sitio 12,3{{esd}}% del ensayo (87,5{{esd}}% del libro)}}</ref> y el primero en hacerlo fue [[Omar Jayam]], que dibujó un rectángulo (ahora llamado "cuadrilátero de Saccheri<ref name=zurdo88>{{Harvsp|Asimov|1972|loc=Aproximadamente en el sitio 27,9{{esd}}% del ensayo (88,3{{esd}}% del libro)}}</ref>), y suponiendo que dos de los ángulos son rectos, sin el quinto postulado no pudo demostrar que los otros dos fuesen también rectos, tan solo demostró que son iguales.<ref name=zurdo87 /> Posteriormente otro geómetra árabe, [[Nasir al-Din al-Tusi]] hizo otro intento sin conseguirlo.
Siglos más tarde un italiano, [[Giovanni Gerolamo Saccheri|Girolamo Saccheri]], continuó con el intento (por los años posteriores a 1700). Esta vez hizo un intento diferente, cambiando intencionalmente el quito postulado por uno que lo contradecía, trató de demostrar que [[Reductio ad absurdum|se llega a un absurdo]].<ref name=zurdo88 />
Inicialmente tuvo mucho éxito llegando a un absurdo al partir que los otros dos ángulos del 'cuadrilátero de Saccheri' eran obtusos. Pero al continuar con el intento al suponer que esos otros dos ángulos eran agudos, se equivocó y erróneamente llegó a otro absurdo. (La causa del error fue probablemente influencia de sus creencias religiosas)<ref name=zurdo88 />
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* ''Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera'' (''Elementos'', Libro I, Postulados, 1).
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De todas formas, dado que es más sencillo para nuestro propósito, consideraremos la definición dada por [[Arquímedes]] en "Sobre la esfera y el cilindro": ''la recta es la más corta de todas las líneas que tienen los mismos extremos''.
Ahora bien, excepto porque tenemos una noción de recta y de plano que nos permiten comprobar que esas nociones encajan en las definiciones dadas, éstas son demasiado difusas desde el punto de vista lógico como para considerar que no puedan ser válidas otras interpretaciones. Por ejemplo, si consideramos una [[superficie esférica]] y le damos la denominación de ''[[Plano (geometría)|plano]]'', encaja perfectamente en las definiciones de plano. En este caso, una ''recta'' debería de ser (en virtud de lo dicho, en especial de la propiedad de ser la línea más corta) el trozo de circunferencia máxima (es decir, una circunferencia que pasa por dos puntos diametralmente opuestos de la superficie esférica) que pasa por dos puntos dados. En tal situación, por un punto exterior a una ''recta'' no pasaría ninguna ''recta'' paralela a la dada.
=== La aparición de las geometrías no euclidianas ===
En el siglo XIX se da conclusión al problema de la independencia del V postulado. Lo hacen de manera independiente [[János Bolyai|Bolyai]] y [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky|Lobachevsky]], aunque [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ya había resuelto el problema con anterioridad (
La idea que dio solución al problema es la siguiente: si el V postulado depende de los otros cuatro,
En contra de lo que pudiera pensarse, con este método no se llegó a contradicción alguna. Es más, se llegó a demostrar que las geometrías así obtenidas por Bolyai y
=== El V postulado y la investigación geométrica actual ===
En la actualidad, la
== Véase también ==
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