Estabilidad de Liapunov

En matemáticas, la noción de estabilidad de Liapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos.

De manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio de la ecuación diferencial homogénea es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno de se mantienen cerca de para todo tiempo posterior.

Esta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto.

Definición

editar

Sea   un campo de vectores en una variedad diferenciable  . Consideremos la ecuación diferencial

 ,

  tal que   (es decir, un punto de equilibrio de la ecuación). Diremos que   es:

  1. estable en el sentido de Liapunov si para todo  , existe   tal que si   es solución de la ecuación con  , entonces para   tenemos  .
  2. asintóticamente estable si cumple con el punto anterior y además el   puede elegirse de manera que  .

Ejemplos

editar

(1) Sea la ecuación diferencial en  . El 0 es un punto de equilibrio de la ecuación. Veamos que es asintóticamente estable.

Si   entonces la solución de la ecuación con condición   es  . Es fácil ver que para todo   tendremos que esa solución es decreciente y tiende a 0 cuando  .

Por lo tanto, dado  , tomando   se cumple: si   entonces   para   y  .


(2) Para la ecuación   el 0 también es un punto de equilibrio. Veamos que no es estable.

Si   entonces la solución a la ecuación con condición   es  .

Tomando   tenemos que ningún   sirve para la definición de estabilidad: dado   la solución   verifica  , pero existe   tal que  .


(3) Sea la ecuación  , donde  . Veamos que el origen es un punto de equilibrio estable pero no asintóticamente estable.

Para ello mostremos que si   es solución a la ecuación entonces   es constante:  . Por lo tanto, toda solución que parte a distancia   del origen se mantendrá a distancia   siempre. Esto implica que el origen es estable pero no asintóticamente.

El caso lineal

editar

Para el caso de ecuaciones en   del tipo  , donde  , se conoce una clasificación completa de los casos en que el origen es un punto de equilibrio estable o asintóticamente estable, estudiando sus valores propios.

Si   tiene todos sus valores propios con parte real negativa entonces el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable. Si la matriz tiene algún valor propio con parte real positiva entonces el origen no es estable.

Para el caso en que   tenga valores propios con parte real nula se sabe que el origen no es asintóticamente estable. Para ver si es estable debemos estudiar las multiplicidades geométricas de dichos valores propios. Cuando la matriz tiene valores propios con parte real menor o igual a cero tendremos que: el origen es estable si y solo para todo valor propio   con parte real 0 se tiene que la multiplicidad algebraica de   es igual a la geométrica.

Algunos resultados

editar

El teorema de Hartman-Grobman

editar

Sea   una función diferenciable. El teorema de Hartman-Grobman indica que para estudiar la estabilidad de un punto de equilibrio de la ecuación   puede utilizarse su aproximación lineal en algunos casos. Más en concreto: sea   tal que   y su matriz jacobiana   no tiene valores propios con parte real nula, entonces   es (asintóticamente) estable si y solo si el origen es (asintóticamente) estable para la ecuación  .

Funciones de Liapunov

editar

Sea   una función de clase  . Consideremos la ecuación  . Supongamos   verifica  .

Sea   un entorno de  ,   derivable tal que  ,  . A una función así la llamaremos función de Liapunov. Para   solución a la ecuación diferencial, la derivada de   es  .

Existen dos resultados debidos a Liapunov que conciernen este tipo de funciones:

  1. si   entonces p es estable;
  2. si   entonces   es asintóticamente estable.

Véase también

editar

Bibliografía

editar
  • Sotomayor, Jorge (1979). Lições de Equações Diferenciais Ordinárias (en portugués). Río de Janeiro: IMPA (Projeto Euclides). 
  • Gil, Omar (2002). «Ecuaciones diferenciales ordinarias: teoría básica». Curso introductorio a las ecuaciones diferenciales. Montevideo: IMERL (Facultad de Ingeniería, Universidad de la República). pp. 245-272. 
  • Imaz, Carlos; Vorel, Zdenek (1968). «El problema de estabilidad». Ecuaciones diferenciales ordinarias (primera edición). México D.F.: Limusa-Wiley S.A. pp. 123-156. 
  • Lyapunov, Aleksandr (1992). The general problem of stability of motion (en inglés) (primera edición). Londres: Taylor & Francis.