Función cóncava

En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Una función es cóncava en un intervalo (a,c), si para todo punto b del intervalo la recta tangente en ese punto queda por encima de la función.

Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

DefiniciónEditar

Formalmente, una función real   definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo   de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos   e   cualesquiera definidas en su dominio  , y para cualquier   en  , se cumple:

 .

Además,   es cóncavo en   si y solo si la función   es convexa en  .

Una función es estrictamente cóncava si

 .

Una función continua en   es cóncava si y solo si

  .

para cualquier x e y en C.

Una función diferenciable f es cóncava en un intervalo si su derivada f ′ es monótonamente decreciente en ese intervalo: una función cóncava posee una pendiente negativa o decreciente (entendiendo por "decreciente" aquí a que es "no-creciente", en lugar de "estrictamente decreciente"; es decir, se permite la pendiente cero).

PropiedadesEditar

Dada una función   doblemente diferenciable, si su segunda derivada   es positiva, entonces   es convexa; si   es negativa, entonces es cóncava. Los puntos donde la concavidad cambia son puntos de inflexión.

Si una función convexa (es decir, cóncava hacia arriba) tiene un "fondo" ("bottom"), cualquier punto al fondo es un mínimo extremo. Si una función cóncava (es decir, cóncava hacia abajo) tiene un "ápice" ("apex"), cualquier punto al ápice es un máximo extremo.

Si   es doblemente diferenciable, entonces   es cóncavo si y solo si   es negativo o cero. Si su segunda derivada es negativa entonces es estrictamente cóncava, pero lo opuesto no es cierto, como podemos ver para  .

Una función es cuasicóncava si y solo si posee un   tal que para todo  ,   es no decreciente y para todo   es no creciente.   puede también ser  , haciendo la función no decreciente (no creciente) para todo  . Además, una función f es cuasiconvexa si y solo si −f es cuasicóncava.

EjemplosEditar

  • La función   tiene segunda derivada   en todos los puntos, luego f es una función (estrictamente) cóncava.
  • Cualquier función constante   es cóncava y convexa.
  • La función   es cóncava en cualquier intervalo de la forma   donde   es un entero.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar