Función suma de divisores

En teoría de números, la función suma de divisores es una función que es una suma sobre la función divisor. Se utiliza con frecuencia en el estudio del comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann. Varios de los estudios sobre el comportamiento de la función divisor son a veces llamados problemas del divisor.

Definición

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La función suma de divisores es definida como

 

donde

 

es la función divisor. La función divisor cuenta el número de maneras que un número entero n puede ser escrito como producto de dos enteros. Más generalmente, se puede definir

 

donde dk(n) cuenta el número de maneras que un número entero n puede ser escrito como producto de k números.

Problema del divisor de Dirichlet

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Encontrar una forma cerrada para esta expresión en forma de suma parece no estar al alcance de las técnicas disponibles, pero si es posible dar aproximaciones. El comportamiento principal de la serie no es difícil de obtener. Dirichlet, usando el método de hipérbola de Dirichlet demostró que

 

donde   es la constante de Euler-Mascheroni, y el término no principal como

 

donde,   denota la notación de Landau. El problema del divisor de Dirichlet, lo que precisamente expresa, es encontrar el ínfimo de todos los valores   para los cuales

 

se cumple, para todo  . A fecha de 2011, el problema sigue sin resolver, los progresos son muy lentos. Varios de los métodos funcionan igual para este problema y para el problema del círculo de Gauss. La sección F1 de Unsolved Problems in Number Theory [1]​ inspecciona qué es y no es conocido sobre estos problemas.

  • En 1904, Georgi Voronói demostró que el término error puede ser mejorado a  [2]
  • En 1916, G.H. Hardy mostró que  . En particular, él demostró que para alguna constante  , existen valores de x para los cuales   y valores de x para los cuales  .[3]
  • En 1922, J. van der Corput mejoró el límite de Dirichlet a  [2]
  • En 1928, J. van der Corput demostró que  [2]
  • En 1950, Chih Tsung-tao e independientemente en 1953 H. E. Richert demostraron que  [2]
  • En 1969, Grigori Kolesnik demostró que  .[2]
  • En 1973, Grigori Kolesnik demostró que  .[2]
  • En 1982, Grigori Kolesnik demostró que  .[2]
  • En 1988, H. Iwaniec and C. J. Mozzochi demostraron que  [4]
  • En 2003, M.N. Huxley perfeccionó el método para mostrar que  [5]

Así que, el verdadero valor de   se encontrará en algún sitio entre 1/4 y 131/416; es ampliamente conjeturado que sea exactamente 1/4. La evaluación directa de   da crédito a esta conjetura, puesto que   parece estar aproximadamente distribuida normalmente con desviación estándar de 1 para los x hasta al menos 1016.

  1. Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd edición). Berlin: Springer. ISBN 9780387208602. 
  2. a b c d e f g Ivic, Aleksandar (2003). The Riemann Zeta-Function. Nueva York: Dover Publications. ISBN 0486428133. 
  3. Montgomery, Hugh; R. C. Vaughan (2007). Multiplicative Number Theory I: Classical Theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521849036. 
  4. Iwaniec, H.; C. J. Mozzochi (1988). «On the divisor and circle problems». Journal of Number Theory 29: 60-93. doi:10.1016/0022-314X(88)90093-5. 
  5. Huxley, M. N. (2003). «Exponential sums and lattice points III». Proc. London Math. Soc. 87: 591-609. doi:10.1112/S0024611503014485. 

Referencias

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