Constante de Euler-Mascheroni

constante presente en teoría de números

La constante de Euler-Mascheroni (también conocida como constante de Euler) es una constante matemática que aparece principalmente en teoría de números y se denota con la letra griega minúscula gamma .

Está definido como el límite de la diferencia entre la serie armónica y el logaritmo natural

donde denota la función parte entera.

Su valor aproximado es

No debe confundirse con el número e, también llamado número de Euler.

HistoriaEditar

La constante apareció por primera vez, en 1734, en un artículo escrito por el matemático suizo Leonhard Euler, llamado De Progressionibus harmonicis observationes, calculando los 6 primeros dígitos para la constante y llamándola C. En 1781 calcularía otros 10 decimales más. En 1790, Lorenzo Mascheroni calcularía los primeros 19 decimales y la denotaría como A. Ya más tarde se denotaría de la forma moderna como γ, debido a su conexión con la función gamma.[1]

PropiedadesEditar

El número   no se ha probado que sea algebraico o transcendente, de hecho, ni siquiera se conoce si   es irracional o no.[2]​ El análisis de fracciones continuas revela, que de ser racional, su denominador debe ser muy elevado (actualmente del orden de 10242080).[3]​ Debido a que está presente en un gran número de ecuaciones y relaciones, la racionalidad o irracionalidad de γ está entre los problemas abiertos más importantes de matemáticas.

A continuación se exponen las más importantes relaciones de γ con funciones, series e integrales.

Representación original (Euler)Editar

Descubierta en 1734 por Euler, representándola como una serie infinita de la siguiente forma:

 

Relación con la función GammaEditar

  está relacionada con la función digamma   y por lo tanto con la derivada de la función gamma  , cuando ambas funciones están evaluadas en  , esto es

 

y esto es igual al límite:

 

otros límites son

 

Un límite relacionado con la función beta (expresada en términos de la función gamma) es:

 

y como función beta:

 

Relación con la función Zeta de RiemannEditar

  también puede ser expresada como suma infinita, cuyos términos invocan la función zeta de Riemann evaluada en números positivos:

 

Otras series relacionadas con la función zeta son:

 

El término error de la última serie decrece exponencialmente en función de n. Como resultado, la fórmula resulta muy eficiente para calcular grandes cantidades de dígitos de la constante con gran precisión.

Otro interesantes límites relacionado con la constante de Euler-Mascheroni y la función zeta es el límite antisimétrico (Sondow, 1998)

 

y

 

Representación con integralesEditar

  es igual al valor de un número determinado de integrales definidas:

 

Entre las integrales definidas en las cuales aparece   se incluyen

 

Uno puede expresar a   como una integral doble (Sondow 2003, 2005), con su serie equivalente es:

 

Representación con seriesEditar

Aparte de la serie original de Euler (mostrada arriba), se conocen otras series entre las que se incluyen:

 

encontrada por Nielsen en 1897. En 1912 Vacca encontró la siguiente serie relacionada con γ.

 

donde log2 es el logaritmo en base 2 y   la función parte entera.

En 1926, Vacca encontró otra serie similar a la anterior:

 

o escrito como

  (Krämer, 2005)

Estas dos últimas series pueden ser obtenidas mediante la manipulación de la Integral de Catalán (ver Sondow y Zudilin)

 

Representación en forma de fracción continuaEditar

La representación en forma de fracción continua es:

 

más concretamente

  (sucesión A002852 en OEIS).

Desarrollos asintóticosEditar

  es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde Hn es el n-ésimo número armónico)

 

(Euler)

 

(Negoi)

 

(Cesàro)

La última fórmula también es llamada Expansión de Ramanujan.

eγEditar

La constante eγ es importante en teoría de números. Algunos autores la denotan simplemente como γ'. eγ es igual al siguiente límite, donde pn es el n-ésimo número primo:

 

También se puede expresar como un producto infinito, usando funciones hipergeométricas como sigue:

 

Su valor numérico aproximado es

  (sucesión A073004 en OEIS)

GeneralizacionesEditar

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

 

para 0 < α < 1, con γ como caso especial cuando α = 1.[4]​ Esto puede ser más generalizado por

 

para una determinada función f decreciente, por ejemplo

 

dando lugar a las constantes de Stieltjes, y

 

dadas por

 

donde de nuevo el límite

 

aparece.

AparicionesEditar

La constante de Euler-Mascheroni aparece en los siguientes casos (la mayoría en teoría de números):

Para más información en este sentido, ver Gourdon and Sebah (2004).

ReferenciasEditar

  1. Krämer, 2005
  2. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático (1ma edición). México, México: Editorial Limusa. ISBN 968-18-0634-5.
  3. Havil, 2003, p. 97.
  4. Havil, p.117-118

Enlaces externosEditar