H-cuadrado

En matemáticas y teoría de control, H ², o H-cuadrado es un espacio de Hardy con la norma del cuadrado. Es un subespacio del espacio L², y por lo tanto es un espacio de Hilbert. En particular, es un kernel de reproducción de espacio de Hilbert.

En el círculo unitario

En general, los elementos de L² en el círculo unitario están dados por

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$

mientras que los elementos de H² están dadas por

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$

La proyección de L² a H² (estableciendo a_n = 0 cuando n < 0) es ortogonal.

En el semiplano

La transformada de Laplace ${\mathcal {L}}$dada por

$[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

se puede entender como un operador lineal

${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)$

donde $L^{2}(0,\infty )$es el conjunto de funciones cuadradas-integrables en la recta numérica real positiva, y $\mathbb {C} ^{+}$es la mitad derecha del plano complejo. Es más; es un isomorfismo, en que es invertible, y es isométrico , en que satisface

$\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$

La transformada de Laplace es "la mitad" de una transformada de Fourier; de la descomposición

$L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$

uno entonces obtiene una descomposición ortogonal de $L^{2}(\mathbb {R} )$en dos espacios resistentes

$L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$

Este es esencialmente el teorema de Paley-Wiener .

Véase también

• H _∞

Referencias

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.

• Datos: Q5636328