Identidad de Beltrami

La identidad de Beltrami, que lleva el nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), es un caso especial de las ecuaciones de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones.

La ecuación de Euler-Lagrange sirve para obtener un valor extremo de un funcional con la forma

donde y son constantes y .[1]

Si , entonces la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a la identidad de Beltrami,

donde C es una constante.[2][nota 1]

Obtención de la fórmula

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Por la regla de la cadena, la derivada de L es

 

Dado que  , se puede escribir que

 

Se tiene una expresión para   de la ecuación de Euler-Lagrange,

 

que se puede sustituir en la expresión anterior por   para obtener

 

Según la regla del producto, el lado derecho equivale a

 

Al realizar la integración en ambos lados y poner ambos términos en un lado, se obtiene la identidad de Beltrami,

 

Aplicaciones

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Solución al problema de la braquistocrona

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La solución al problema de la braquistocrona es la cicloide

Un ejemplo de aplicación de la identidad de Beltrami es la curva braquistócrona, que implica encontrar la curva   que minimice la integral

 

El integrando

 

no depende explícitamente de la variable de integración  , por lo que se aplica la identidad de Beltrami,

 

Sustituyendo por   y simplificando,

 

que se puede resolver con el resultado expresado en forma de ecuación paramétrica

 
 

siendo   la mitad de la constante anterior,   y   una variable. Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide.[3]

Solución al problema de la catenaria

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Una cadena que cuelga de sus extremos forma una catenaria

Considérese una cuerda con densidad uniforme   de longitud   suspendida de dos puntos de igual altura y a una distancia  . Por la fórmula para la longitud de arco,

 

donde   es el arco de la cadena y   y   son las condiciones de contorno.

La curva tiene que minimizar su energía potencial:

 

y está sujeta a la restricción

 

donde   es la fuerza de gravedad.

Debido a que la variable independiente   no aparece en el integrando, la identidad de Beltrami se puede usar para expresar la forma de la cadena como una ecuación diferencial de primer orden separable

 

donde   es un multiplicador de Lagrange.

Es posible simplificar la ecuación diferencial de la forma siguiente:

 

Al resolver esta ecuación se obtiene el coseno hiperbólico, donde   es una segunda constante obtenida de la integración

 

Las tres incógnitas  ,   y   se pueden resolver utilizando las restricciones para los puntos finales de la cadena y la longitud del arco  , aunque a menudo es muy difícil obtener una solución de forma cerrada.

  1. Así, la transformada de Legendre de la lagrangiana, la hamiltoniana, es constante a lo largo del camino dinámico.

Referencias

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  1. Courant R, Hilbert D (1953). Methods of Mathematical Physics I (First English edición). New York: Interscience Publishers, Inc. p. 184. ISBN 978-0471504474. 
  2. Weisstein, Eric W. "Euler-Lagrange Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. See Eq. (5).
  3. This solution of the Brachistochrone problem corresponds to the one in — Mathews, Jon; Walker, RL (1965). Mathematical Methods of Physics. New York: W. A. Benjamin, Inc. pp. 307-9.