Regla de la cadena

Derivacion Implícita

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la reglaEditar

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraicaEditar

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si   es diferenciable en   y   es una función diferenciable en  , entonces la función compuesta   es diferenciable en   y

 

Notación de LeibnizEditar

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

 
Demostración

Sea

   

Por definición la derivada es:

   

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre    

     

donde   indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Ejemplos de aplicaciónEditar

Ejemplo conceptualEditar

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraicoEditar

Por ejemplo si   es una función derivable de   y si además   es una función derivable de   entonces   es una función derivable con:

 

o también

 

Ejemplo 1Editar

 
 

y queremos calcular:

 

Por un lado tenemos:

 

y

 

si:

 

entonces:

 

Si definimos como función de función:

 
 

resulta que:

 
 

con el mismo resultado.

Ejemplo 2Editar

Tenemos   la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

 , cuyas derivadas serían:
 

Con la regla de la cadena, esto sería:

 

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

 
 

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

 

Y luego se obtiene la derivada.

 

Derivadas de orden superiorEditar

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

 
 
 
 

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar