Regla de la cadena

derivacion Implícita

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para obtener la derivada de funciones compuestas, esto es, si y son funciones diferenciables entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la composición en términos de la derivada de y y el producto de funciones como

Alternativamente, si (equivalente a para toda ) entonces se puede escribir la fórmula de la regla de la cadena en la notación de Lagrange como

La regla de la cadena también puede ser escrita en la notación de Leibniz de la siguiente manera. Si una variable depende de una variable y a su vez esta depende de (esto es y son variables dependientes) entonces también depende de , en tal caso, la regla de la cadena enuncia que

y para indicar el punto en el que cada derivada es evaluada

Las versiones de la regla de la cadena en la notación de Lagrange y de Leibniz son equivalentes en el sentido que si y (esto es ) entonces

y

EnunciadoEditar

La forma más simple de la regla de la cadena es para funciones de una variable. Enuncia que si   es una función que es diferenciable en un punto   (es decir, la derivada   existe) y si   es una función diferenciable en   entonces la función compuesta   es diferenciable en   y su derivada es

 

y en ocasiones es abreviada como

 

Si   y   entonces esta forma abreviada escrita en la notación de Leibniz es

 

y para denotar los puntos donde la derivada es evaluada

 

Dadas   funciones   y la función compuesta  , si cada función   es diferenciable entonces la función compuesta también es diferenciable (por la regla de la cadena repetida varias veces) y su derivada es (en la notación de Leibniz)

 

Derivadas de orden superiorEditar

La fórmula de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Suponga que   y   entonces

 
 
 
 

DemostraciónEditar

Primera demostraciónEditar

Una demostración consiste utilizando la definición de la derivada:

 

Supongamos que   no es igual   para todo   cerca de   entonces la expresión anterior es igual al producto de dos factores:

 

Si   se mueve cerca de  , entonces puede ocurrir que independientemente de lo cerca que se esté de  , siempre hay un valor   más cercano tal que  . Por ejemplo, esto ocurre para   cerca del punto   (y  ). Cuando esto ocurre, la expresión de arriba no está definida porque implica una división por cero. Para sortear este inconveniente, se introduce la función   como sigue:

 

Se mostrará que el cociente incremental para   siempre es igual a:

 

Como quiera que   no es igual a   lo cual es claro porque los factores de   se cancelan. Cuando   es igual a  , entonces el cociente incremental para   es cero porque   es igual a   y el producto de arriba es cero porque es igual a   por cero, por lo que el producto de arriba siempre es igual al cociente incremental y para demostrar que la derivada de   en   existe y determinar su valor, sólo necesitamos demostrar que el límite cuando   tiende a   del producto de arriba existe y determinar su valor.

Para hacer esto, hay que recordar que el límite de un producto existe, si existe el límite de sus factores existe, cuando esto ocurre, el límite del producto de esos factores será igual al producto de los límites de los factores. Los factores en este caso son   y  . El último es el cociente incremental para   en  , y como   es diferenciable en   como se supuso, su límite cuando   tiende a   existe y es igual a  .

Para  , nótese que   está definida donde lo esté   . Más aún,   es diferenciable en   por hipótesis, así que   es continua en  , por la propia definición de la derivada. La función   es continua en   porque es diferenciable en   por lo que   es continua en  . Así que el límite cuando   tiende a   existe y es igual a  , o sea  .

Esto muestra que los límites de ambos factores existen y son iguales a   y   respectivamente. Por lo tanto, la derivada de   en   existe y es igual a  .[1]

EjemplosEditar

Ejemplo conceptualEditar

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Regla del cocienteEditar

La regla de la cadena puede ser utilizada para obtener algunas fórmulas para derivar, por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto, para esto, escriba la función   como el producto  , utilizando primero la regla del producto:

 

Para calcular la derivada de  , note que es la función compuesta de   con la función recíproco  , la derivada de esta función es  , aplicando la regla de la cadena la expresión anterior queda como

 

que es la fórmula de la regla del cociente.

Derivada de funciones inversasEditar

Suponga que   tiene función inversa, llámese  , por lo que  . Existe una fórmula para la derivada de   en términos de la derivada de  , para esto, note que   y   satisfacen la ecuación

 

y como las funciones   y   son iguales entonces sus derivadas también son iguales. La derivada de   es la constante   y la derivada de   está dada por la regla de la cadena, por lo que

 

Para expresar   como una función de una variable independiente  , reemplazamos   por   y resolvemos para  

 

Por ejemplo, considere la función  , esta tiene función inversa  , como   entonces por la fórmula anterior

 

Ejemplo algebraicoEditar

Sean

 

y deseamos calcular  .

Por un lado tenemos:

 

y

 

como

 

entonces

 

Otra opción es definiendo la función:

 

entonces

 

que es el mismo f o g .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. «Chain Rule for Derivative — The Theory». Math Vault (en inglés estadounidense). 5 de junio de 2016. Consultado el 16 de septiembre de 2020. 

Enlaces externosEditar