En álgebra , la identidad de Binet-Cauchy , que lleva el nombre de Jacques Philippe Marie Binet y de Augustin Louis Cauchy , establece que[ 1]
(
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
d
j
)
=
(
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
)
(
∑
j
=
1
n
b
j
c
j
)
+
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
(
c
i
d
j
−
c
j
d
i
)
{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}
para cada elección de un número real o número complejo (o más generalmente, elementos de un anillo conmutativo ).
Al configurar ai = ci y bj = dj , se obtiene la identidad de Lagrange , que es una versión más fuerte de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz para el espacio euclídeo
R
n
{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}
.
La identidad de Binet-Cauchy y el álgebra exterior
editar
Cuando n = 3 , el primer y segundo términos en el lado derecho se convierten en las magnitudes cuadradas del producto escalar y del producto vectorial respectivamente; en las dimensiones n , se convierten en las magnitudes del producto esscalar y del producto exterior . Se puede escribir como
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
=
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
+
(
a
∧
b
)
⋅
(
c
∧
d
)
{\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)}
donde a , b , c y d son vectores. También se puede escribir como una fórmula que da el producto escalar de dos productos exteriores, como
(
a
∧
b
)
⋅
(
c
∧
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
,
{\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)\,,}
que se puede escribir como
(
a
×
b
)
⋅
(
c
×
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle (a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}
en el caso n = 3 .
En el caso especial a = c y b = d , la fórmula se convierte en
|
a
∧
b
|
2
=
|
a
|
2
|
b
|
2
−
|
a
⋅
b
|
2
.
{\displaystyle |a\wedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|a\cdot b|^{2}.}
Cuando tanto a como b son vectores unitarios, se obtiene la relación habitual
sin
2
ϕ
=
1
−
cos
2
ϕ
{\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi }
donde φ es el ángulo entre los vectores.
Una relación entre los símbolos de Levi-Cevita y la delta de Kronecker generalizada es
1
k
!
ε
λ
1
⋯
λ
k
μ
k
+
1
⋯
μ
n
ε
λ
1
⋯
λ
k
ν
k
+
1
⋯
ν
n
=
δ
ν
k
+
1
⋯
ν
n
μ
k
+
1
⋯
μ
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{k!}}\varepsilon ^{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\varepsilon _{\lambda _{1}\cdots \lambda _{k}\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}=\delta _{\nu _{k+1}\cdots \nu _{n}}^{\mu _{k+1}\cdots \mu _{n}}\,.}
La forma
(
a
∧
b
)
⋅
(
c
∧
d
)
=
(
a
⋅
c
)
(
b
⋅
d
)
−
(
a
⋅
d
)
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)}
de la identidad de Binet-Cauchy se puede escribir como
1
(
n
−
2
)
!
(
ε
μ
1
⋯
μ
n
−
2
α
β
a
α
b
β
)
(
ε
μ
1
⋯
μ
n
−
2
γ
δ
c
γ
d
δ
)
=
δ
γ
δ
α
β
a
α
b
β
c
γ
d
δ
.
{\displaystyle {\frac {1}{(n-2)!}}\left(\varepsilon ^{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }\right)\left(\varepsilon _{\mu _{1}\cdots \mu _{n-2}\gamma \delta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\right)=\delta _{\gamma \delta }^{\alpha \beta }~a_{\alpha }~b_{\beta }~c^{\gamma }~d^{\delta }\,.}
Desarrollando el último término,
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
(
c
i
d
j
−
c
j
d
i
)
{\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
c
i
b
j
d
j
+
a
j
c
j
b
i
d
i
)
+
∑
i
=
1
n
a
i
c
i
b
i
d
i
−
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
(
a
i
d
i
b
j
c
j
+
a
j
d
j
b
i
c
i
)
−
∑
i
=
1
n
a
i
d
i
b
i
c
i
{\displaystyle =\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}}
donde el segundo y cuarto términos son iguales y se suman para completar los términos de la siguiente manera:
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
c
i
b
j
d
j
−
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
d
i
b
j
c
j
.
{\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}
Esto completa la prueba después de factorizar los términos indexados por "i".
Una forma general, también conocida como fórmula de Cauchy–Binet , establece lo siguiente:
Supóngase que A es una matriz de orden m ×n y B es una matriz de n ×m . Si S es un subconjunto de {1, ..., n } con m elementos, se escribe AS para la matriz de m ×m cuyas columnas son aquellas columnas de A que tienen índices de S . De manera similar, se escribe BS para la matriz de m ×m cuyas filas son aquellas filas de B que tienen índices de S .
Entonces, el determinante del producto de A y B satisface la identidad
det
(
A
B
)
=
∑
S
⊂
{
1
,
…
,
n
}
|
S
|
=
m
det
(
A
S
)
det
(
B
S
)
,
{\displaystyle \det(AB)=\sum _{\scriptstyle S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}
donde la suma se extiende sobre todos los posibles subconjuntos S de {1, ..., n } con m elementos.
Se obtiene la identidad original como un caso especial configurando
A
=
(
a
1
…
a
n
b
1
…
b
n
)
,
B
=
(
c
1
d
1
⋮
⋮
c
n
d
n
)
.
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.}