Identidad de polarización

En matemáticas, la identidad de polarización expresa el producto interior en cierto espacio normado en función de su norma. Denotando la norma de vector x y el producto interior de los vectores x e y, entonces el teorema en cuestión (atribuido a Fréchet, von Neumann y Jordan) establece:[1][2]

Vectores implicados en la identidad de polarización.
En un espacio normado (V, ), si se cumple la regla del paralelogramo, entonces hay un producto interior en V tal que para todo .

Fórmula

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Todas las formas siguientes están relacionadas por la regla del paralelogramo:

 

La identidad de polarización puede ser generalizada a varios contextos como el álgebra abstracta, el álgebra lineal, o el análisis funcional.

Para espacios vectoriales con escalares reales

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Si V es un espacio vectorial sobre los reales, entonces el producto interior definido por la identidad de polarización es

 

Para espacios vectoriales con escalares complejos

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Si V es un espacio vectorial complejo, el producto interior dado por la identidad de polarización será en este caso

 

donde   es la unidad imaginaria. Nótese que el producto interior así definido es anti-lineal en su primera componente y lineal en la segunda. Para seguir las definiciones convencionales, solo necesitamos tomar el complejo conjugado:

 

Otras formas para espacios vectoriales reales

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La regla de paralelogramo puede usarse para derivar otras formas:

 

Aplicación a productos escalares

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Relación con el teorema del coseno

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La segunda forma de la identidad de polarización puede ser escrita como

 

Esto es la forma vectorial de la ley de los cosenos para el triángulo formado por los vectores u, v, y u - v. En particular,

 

donde θ es el ángulo entre los vectores u y v.

Deducción

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La relación básica entre la norma y el producto escalar está dada por

 

Entonces

 

Y de modo parecido

 

Las formas (1) y (2) de la identidad de polarización se consiguen al resolver estas ecuaciones para u · v, mientras que la forma (3) se obtiene al restar estas dos ecuaciones. (Sumándolas da la ley de paralelogramo)

Generalizaciones

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Normas

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En álgebra lineal, la identidad de polarización se aplica a cualquier norma de un espacio vectorial definida en términos del producto escalar por la ecuación

 

Para vectores reales u y v, podemos introducir el ángulo θ utilizando:[3]

 

lo cual es aceptable gracias a la desigualdad de Cauchy–Schwarz :

 

Esta desigualdad asegura que la magnitud del coseno definido arriba será ≤ 1. La elección de la función coseno asegura que cuando   ( son vectores ortogonales), el ángulo θ = π/2 o −π/2, donde el signo lo determina la orientación en el espacio vectorial.

En este caso, las identidades quedan

 

Inversamente, si una norma en un espacio vectorial satisface la regla de paralelogramo, entonces cualquiera de las identidades de arriba pueden usarse para definir un producto interior compatible. En análisis funcional, esto es común cuando se quiere hacer de un espacio de Banach un espacio de Hilbert .


Números complejos

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En álgebra lineal sobre los números complejos, es común usar un producto interior sesquilinear, con la propiedad de que   es el complejo conjugado de  . En este caso las identidades de polarización estándares solo dan la parte real del producto interior:

 

Utilizando   (siguiendo la convención de que el producto interior sea lineal en la segunda componente), la parte imaginaria del producto interior puede ser recuperada como sigue:

 

Polinomios homogéneos de mayor grado

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Finalmente, en cualquier de estos contextos estas identidades pueden extenderse a polinomios homogéneos (esto es, formas algebraicas) de grado arbitrario, donde se la conoce como la fórmula de polarización. Esto está revisado en mayor detalle en el artículo polarización de una forma algebraica.

La identidad de polarización puede establecerse del siguiente modo:

 

Notas y referencias

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  1. Philippe Blanchard, Erwin Brüning (2003). «Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan)». Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, and variational methods. Birkhäuser. p. 192. ISBN 0817642285. 
  2. Gerald Teschl (2009). «Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann)». Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators. American Mathematical Society Bookstore. p. 19. ISBN 0-8218-4660-4. 
  3. Francis Begnaud Hildebrand (1992). «Equation 66, the natural definition». Methods of applied mathematics (Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd edición). Courier Dover Publications. p. 24. ISBN 0-486-67002-3.