Una demostración formal del lema consiste en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias. Esta aproximación no es presentada aquí pues involucra un gran número de detalles técnicos. En cambio, damos un bosquejo de cómo uno puede obtener el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas de cálculo estocástico.
Suponga que
X
t
{\displaystyle X_{t}}
Itô con drift que satisface la ecuación diferencial estocástica
d
X
t
=
μ
t
d
t
+
σ
t
d
B
t
,
{\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},}
donde
B
t
{\displaystyle B_{t}}
movimiento browniano . Si
f
(
t
,
x
)
{\displaystyle f(t,x)}
serie de Taylor es
d
f
=
∂
f
∂
t
d
t
+
∂
f
∂
x
d
x
+
1
2
∂
2
f
∂
x
2
d
x
2
+
⋯
.
{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots .}
Sustituyendo
X
t
{\displaystyle X_{t}}
x
{\displaystyle x}
μ
t
d
t
+
σ
t
d
B
t
{\displaystyle \mu _{t}dt+\sigma _{t}dB_{t}}
d
x
{\displaystyle dx}
d
f
=
∂
f
∂
t
d
t
+
∂
f
∂
x
(
μ
t
d
t
+
σ
t
d
B
t
)
+
1
2
∂
2
f
∂
x
2
(
μ
t
2
d
t
2
+
2
μ
t
σ
t
d
t
d
B
t
+
σ
t
2
d
B
t
2
)
+
⋯
.
{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,dt^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,dB_{t}^{2}\right)+\cdots .}
En el límite
d
t
→
0
{\displaystyle dt\to 0}
d
t
2
{\displaystyle dt^{2}}
d
t
d
B
t
{\displaystyle dtdB_{t}}
d
B
2
{\displaystyle dB^{2}}
O
(
d
t
)
{\displaystyle O(dt)}
d
t
2
{\displaystyle dt^{2}}
d
t
d
B
t
{\displaystyle dtdB_{t}}
d
t
{\displaystyle dt}
d
B
2
{\displaystyle dB^{2}}
Wiener proceso ) y juntando los términos
d
t
{\displaystyle dt}
d
B
{\displaystyle dB}
d
f
=
(
∂
f
∂
t
+
μ
t
∂
f
∂
x
+
σ
t
2
2
∂
2
f
∂
x
2
)
d
t
+
σ
t
∂
f
∂
x
d
B
t
{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}}
editar
Un proceso
{
S
t
}
{\displaystyle \{S_{t}\}}
movimiento browniano geométrico con volatilidad constante
σ
{\displaystyle \sigma }
μ
{\displaystyle \mu }
ecuación diferencial estocástica
d
S
t
=
σ
S
t
d
B
t
+
μ
S
t
d
t
{\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt}
{
B
t
}
{\displaystyle \{B_{t}\}}
f
(
S
t
)
=
log
(
S
t
)
{\displaystyle f(S_{t})=\log(S_{t})}
d
f
(
S
t
)
=
f
′
(
S
t
)
d
S
t
+
1
2
f
′
′
(
S
t
)
(
d
S
t
)
2
=
1
S
t
d
S
t
+
1
2
(
−
S
t
−
2
)
(
S
t
2
σ
2
d
t
)
=
1
S
t
(
σ
S
t
d
B
t
+
μ
S
t
d
t
)
−
1
2
σ
2
d
t
=
σ
d
B
t
+
(
μ
−
σ
2
2
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}df(S_{t})&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.\end{aligned}}}
esto es
d
(
log
(
S
t
)
)
=
σ
d
B
t
+
(
μ
−
σ
2
2
)
d
t
.
{\displaystyle d\left(\log(S_{t})\right)=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.}
de lo anterior se sigue que
log
(
S
t
)
=
log
(
S
0
)
+
σ
B
t
+
(
μ
−
σ
2
2
)
t
,
{\displaystyle \log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,}
que es equivalente a
S
t
=
S
0
exp
(
σ
B
t
+
(
μ
−
σ
2
2
)
t
)
.
{\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).}
editar
El lema de Itô puede ser utilizado para obtener la ecuación de Black–Scholes para una opción .[ 1] movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica
d
S
t
=
(
σ
d
B
t
+
μ
d
t
)
{\displaystyle dS_{t}=(\sigma dB_{t}+\mu dt)}
t
{\displaystyle t}
f
(
t
,
S
t
)
{\displaystyle f(t,S_{t})}
d
f
(
t
,
S
t
)
=
(
∂
f
∂
t
+
1
2
(
S
t
σ
)
2
∂
2
f
∂
S
2
)
d
t
+
∂
f
∂
S
d
S
t
.
{\displaystyle df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.}
Kiyosi Itô (1944). Integral estocástica. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20 , 519@–524. Esto es el papel con el Ito Fórmula; On-line Kiyosi Itô (1951). En ecuaciones diferenciales estocásticas. Memoirs, Sociedad Matemática americana 4 , 1@–51. On-line Bernt Øksendal (2000). Ecuaciones Diferenciales estocásticas. Una Introducción con Aplicaciones , 5.ª edición, corrigió 2.ª impresión. Salmer. ISBN 3-540-63720-6 . Secciones 4.1 y 4.2.
Philip E Protter (2005). Integración estocástica y Ecuaciones Diferenciales , 2.ª edición. Salmer. ISBN 3-662-10061-4 . Sección 2.7. 
Datos: Q1151100