Medida de conteo

En matemáticas, específicamente en teoría de medidas, la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto: el "tamaño" de un subconjunto se considera el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos e infinito $\infty$ si el subconjunto es infinito. ​

La medida de conteo se puede definir en cualquier espacio mensurable (es decir, cualquier conjunto $X$ junto con sigma-álgebra) pero se usa principalmente en conjuntos contables. ​

En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto $X$ en un espacio medible tomando el conjunto de potencias de $X$ como el álgebra sigma $\Sigma ;$ es decir, todos los subconjuntos de $X$ son conjuntos medibles. Entonces la medida de conteo $\mu$ en este espacio mensurable $(X,\Sigma )$ es la medida positiva $\Sigma \to [0,+\infty ]$ definido por

$$\mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}$$

para todos $A\in \Sigma ,$ dónde $\vert A\vert$ denota la cardinalidad del conjunto $A.$ ​

La medida de conteo en $(X,\Sigma )$ es σ-finito si y sólo si el espacio $X$ es contable. ​

Integración en $\mathbb {N}$ con medida de conteo

Toma el espacio de medida $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )$, dónde $2^{\mathbb {N} }$ es el conjunto de todos los subconjuntos de los naturales y $\mu$ la medida de conteo. Tome cualquier mensurable $f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]$. Como se define en $\mathbb {N}$, $f$ se puede representar puntualmente como

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)$$

Cada $\phi _{M}$ es mensurable. Además $\phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)$. Aún más, como cada $\phi _{M}$ es una función sencilla

$$\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)$$

Por tanto, según el teorema de convergencia monótona

$$\int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$$

Discusión

La medida de conteo es un caso especial de una construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función $f:X\to [0,\infty )$ define una medida $\mu$ en $(X,\Sigma )$ a través de

$$\mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,$$

donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el supremo de las sumas de todos los subconjuntos finitos, es decir,

$$\sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.$$

Tomando $f(x)=1$ para todos $x\in X$ da la medida de conteo.

Referencias

• Datos: Q247204