Modelización combinatoria
Una modelización matemática se basa en la compresión de fenómenos reales, obteniendo resultados matemáticos. Dubois (1984) propone cuatro modelizaciones distintas que se encuentran relacionadas entre sí:
- 1ª modelización: selección o muestreo simple de una muestra a partir de k objetos de un total de n objetos distinguibles.
- 2ª modelización: distribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.
- 3ª modelización: partición en subconjuntos n de un conjunto de objetos k
- 4ª modelización: descomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos.
1ª Modelización
editarSelección o muestreo simple, de objetos de un total de objetos distinguibles.
En esta modelización hay 4 posibles tipos de selección:
Muestra ordenada
editarSi la muestra está ordenada, importa el orden de sus objetos, se hallan con los siguientes casos:
- Sin reemplazamiento:
- El número de selecciones que se producen viene dada por la Variación: .
- Con reemplazamiento:
- La cantidad de selecciones se calculan mediante Variaciones con repetición: .
Muestra no ordenada
editarSi la muestra no está ordenada, el orden de sus objetos no es importante, se distinguen estos casos:
- Sin reemplazamiento:
- Las posibles selecciones en este caso se obtienen con Combinaciones: .
- Con reemplazamiento:
- El número total de selecciones viene dado por Combinaciones con repetición: .
Hay un caso particular de Variación: que se conoce como Permutación: , este caso corresponde al número de muestras ordenadas sin reemplazamiento de n objetos de un conjunto de n objetos distinguibles.
Sin reemplazamiento se refiere a que el elemento utilizado ya no puede volverse a usar, mientras con reemplazamiento si.
2ª Modelización
editarDistribución, almacenamiento o colocación de k objetos en n recipientes.
Para dicha modelización hay que diferencia la situación en la que se encuentran los n recipientes para saber el tipo de aplicación a la que corresponde.
- Aplicaciones cualesquiera: recipientes vacíos o con más de un objeto.
- Aplicación inyectiva: todos los recipientes tienen uno o ningún objeto.
- Aplicación sobreyectiva: no hay ningún recipiente vacío y puede tener más de un objeto.
- Aplicación biyectiva: todos los recipientes poseen solo objeto.
Distribución ordenada
editarSi la distribución se encuentra ordenada existen 8 tipos de distribuciones, en las que los objetos serán distinguibles. Podemos diferenciar entre recipientes distinguibles e indistinguibles.
- En los recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
- Aplicaciones cualesquiera:
- El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por Combinación con repetición: P(k)CR(n,k).
- El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k) .
- Para averiguar el número de distribuciones se realiza el producto de Permutación por los números de Lah sin signo: P(n)L(k,n).
- El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).
- En los recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones::
- Aplicaciones cualesquiera:
- El número de distribuciones viene dado por = .
- El número de distribuciones es 1.
- Para averiguar el número de distribuciones se utiliza los números de Lah sin signo: L(k,n).
- El número de distribuciones es 1.
Distribución no ordenada
editarSi la distribución se encuentra ordenada existen 16 tipos de distribuciones, en las que podemos diferenciar entre objetos distinguibles e indistinguibles.
- En los objetos distinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:
- Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
- Aplicaciones cualesquiera:
- El número de distribuciones viene dado por la Variación con repetición: VR(n,k).
- El número de distribuciones viene dado por la Variación: V(n,k).
- El número de distribuciones viene dado por el producto de Permutación por el número de Stirling de 2.ª especie:P(n)S(k, n).
- El número de distribuciones se calcula por la Permutación: P(n).
- Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
- Aplicaciones cualesquiera:
- .
- El número de distribuciones es 1.
- El número de distribuciones se calcula por el número de Stirling de 2.ª especie: S(k, n).
- El número de distribuciones es 1.
- En los objetos indistinguibles, podemos observar los siguientes recipientes:
- Recipientes distinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
- Aplicaciones cualesquiera:
- El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k).
- El número de distribuciones viene dado por Combinación : C(n,k).
- El número de distribuciones viene dado por Combinación con repetición: CR(n,k-n).
- El número de distribuciones es 1.
- Recipientes indistinguibles, podemos obtener las siguientes aplicaciones:
- Aplicaciones cualesquiera:
- Π(k,n).
- El número de distribuciones es 1.
- El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia.
- El número de distribuciones es 1.
3ª Modelización
editarPartición de un conjunto de elementos en subconjuntos.
En esta modelización se pueden diferenciar distintos tipos de particiones simples:
Subconjunto no ordenado y elementos distinguibles
editarSi el subconjunto no está ordenado y sus elementos son distinguibles se aprecian 8 tipos de particiones:
- Particiones ordenadas:
- Vacío y no unitarios:
- Para obtener el número de particiones se hace mediante Variaciones con repetición: .
- Vacío y unitarios:
- El total de particiones se obtiene con Variaciones: .
- No vacíos:
- El cálculo de dichas particiones se consiguen mediante el producto de la Permutación por el Números de Stirling de segunda especie: .
- Unitarios:
- La cantidad de particiones viene dada por la Permutación: .
- Particiones no ordenadas:
- Vacío y no unitarios:
- .
- Vacío y unitarios:
- El número de posibles particiones es 1.
- No vacíos:
- El número de particiones viene dada por el Números de Stirling de segunda especie: .
- Unitarios:
- El número de posibles particiones es 1.
Subconjunto no ordenado y elementos indistinguibles
editarSi el subconjunto no está ordenado y sus elementos no se pueden distinguir, pueden apreciarse 8 tipos:
- Particiones ordenadas:
- Vacío y no unitarios:
- Para calcular las posibles particiones hay que utilizar Combinaciones con repetición: .
- Vacío y unitarios:
- El número total de particiones viene dado por Combinaciones: .
- No vacíos:
- La cantidad de particiones se calcula mediante Combinaciones con repetición: .
- Unitarios:
- El número de posibles particiones es 1.
- Particiones no ordenadas:
- Vacío y no unitarios:
- .
- Vacío y unitarios:
- El número de posibles particiones es 1.
- No vacíos:
- .
tiene que satisfacer la recurrencia = + , con = 1 y = = 1
- Unitarios:
- El número de posibles particiones es 1.
Subconjunto ordenado y elementos distinguibles
editarSi el subconjunto se encuentra ordenado y cuyos elementos son distinguibles, hay 8 tipos de particiones:
- Particiones ordenadas:
- Vacío y no unitarios:
- El número total de particiones se calcula con el producto de la Permutación por Combinaciones con repetición: .
- Vacío y unitarios:
- Las posibles particiones vienen dada por la Variación: .
- No vacíos:
- Para el cálculo de las posibles particiones se realiza el producto de la Permutación por los números de Lah sin singno: .
- Unitarios:
- El número de particiones viene dada por Permutación: .
- Particiones no ordenadas:
- Vacío y no unitarios:
- El cálculo de particiones viene dado por = .
- Vacío y unitarios:
- El número de posibles particiones es 1.
- No vacíos:
- Las particiones se calcular mediante los números de Lah sin singno = .
- Unitarios:
- El número de posibles particiones es 1.
Cuando un subconjunto está vacío se refiere a que dentro de él no hay ningún elemento. Cuando es unitario se debe a que en cada subconjunto solo hay un elemento y no unitario porque hay más de un elemento.
4ª Modelización
editarDescomposición de un número natural k en n sumandos enteros no negativos. Un entero positivo k se puede descomponer en n sumandos enteros no negativos, se clasifican dependiendo de su descomposición y sus sumandos:
- La descomposición se puede calificar en dos tipos:
- Ordena
- No ordenada
- Los sumandos pueden clasificarse como:
- No negativos
- Cero y uno
- Positivos
- Uno
Descomposición ordenada
editarSi la descomposición se encuentra ordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:
- No negativos
- El número de descomposiciones vienen dados por la Combinación con repetición: CR(n,k)
- Cero y uno
- El número de descomposiciones se calculan por la Combinación: C(n,k)
- Positivos
- Las descomposiciones se calculan por la Combinación con repetición: CR(n,k-n)
- Uno
- El número de distribuciones es 1
Descomposición desordenada
editarSi la descomposición se encuentra desordenada existen 4 tipos de descomposiciones, dependerán del tipo de sumando que sea:
- No negativos
- Π(k,n)
- Cero y uno
- El número de distribuciones es 1
- Positivos
- El número de distribuciones viene dado por p(k,n) que satisface la recurrencia
- Uno
- El número de distribuciones es 1
Enlaces externos
editarReferencias
editar- Dubois, Jean-Guy. Une systématique des configurations combinatoires simples. Educational Studies in Mathematics 15, 37–57 (1984) doi:10.1007/BF00380438
- V. Navarro-Pelayo; Carmen Batanero; Juan D. Godino (1996). Razonamiento Combinatorio en Alumnos de Secundaria.
- Rafael Roa (2000). Razonamiento Combinatorio en Estudiantes con Preparación Matemática Avanzada.
- Tan Mingshu (2011). Some Combinatorial Identities and Explanations Based on Occupancy Model. Archivado el 19 de febrero de 2019 en Wayback Machine.
- Moreno Carretero, María Francisca (1998). Didáctica de la matemática en la educación secundaria: manual para la formación inicial del profesorado de secundaria. ISBN 9788482401171.