Núcleo (matemática)

En matemáticas y especialmente en álgebra lineal, dada la transformación lineal $L:V\to W$, el kernel o núcleo de $L$, denotado por $\operatorname {Ker} (L)$ o $\operatorname {Nuc} (L)$, se define como el conjunto de todos los vectores en $V$ cuya imagen bajo $L$ sea el vector nulo de $W$, es decir, el $\operatorname {Ker} (L)$ se define como

Núcleo e imagen de un operador lineal $L:V\to W$.

Un ejemplo de kernel: el operador lineal $L:(x,y)\longrightarrow (x,x)$ transforma todos los puntos de la línea $(x=0,y)$ en el punto cero $(0,0)$, por lo que forman el kernel del operador lineal.

$\operatorname {Ker} (L)=\{{\vec {v}}\in V:L({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}\}$

Ejemplos

Considere la función

${\begin{aligned}f:\mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto x-y\end{aligned}}$

que es lineal cumple que para $\alpha \in \mathbb {R}$ y $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{aligned}f(\alpha (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))&=f(\alpha x_{1}+x_{2},\alpha y_{1}+y_{2})\\&=(\alpha x_{1}+x_{2})-(\alpha y_{1}-y_{2})\\&=(\alpha x_{1}-\alpha y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha (x_{1}-y_{1})+(x_{2}-y_{2})\\&=\alpha f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2})\end{aligned}}$.

Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden pues

${\begin{aligned}\operatorname {Ker} (f)&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:f(x,y)=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x-y=0\}\\&=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=y\}\\&=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}\end{aligned}}$

en concreto el $\operatorname {Ker} (f)$ es el conjunto:

$\operatorname {Ker} (f)=\{(x,x)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in \mathbb {R} \}$

que es el mismo que la variedad lineal generada por el vector (1,1), que describe la recta $y=x$ en $\mathbb {R} ^{2}$.

En el espacio euclídeo de dimensión 3, el núcleo de una forma lineal está formado por todos aquellos vectores que son ortogonales a uno dado. Por ejemplo, dado el vector a = (1,2,3), la forma lineal dada por el producto escalar $a\cdot x$ tiene por núcleo los vectores que satisfacen la ecuación matricial

${\begin{pmatrix}1&2&3\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0$,

que equivale a la ecuación lineal:

$x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0$ .

La solución es otro subespacio de dimensión 2, que se puede describir por ejemplo como el subespacio generado por los vectores: ${\mathcal {L}}\left((-2,1,0),(-3,0,1)\right)$.

Propiedades

Dado un operador lineal $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ con matriz asociada $A$, el núcleo es un subespacio de $\mathbb {R} ^{n}$, cuya dimensión se denomina nulidad de $A$, que coincide con el número de columnas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz $A$. El teorema rango-nulidad establece que el rango más la nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Véase también

• Conjunto imagen.
• Teorema rango-nulidad.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Kernel». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Kernel of a linear mapping en PlanetMath.

• Datos: Q2914509