Número armónico

En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:

El número armónico con (gráfica roja) con su límite asintótico (gráfica azul).


Este también es igual a n veces el inverso de la media armónica.

Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.


RepresentaciónEditar

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:

 

En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula

 

y luego

 

dentro de la integral.

Para los números naturales, Hn también se puede representar como:

 


Hn crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral

 

cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:

 

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

Y también, como la correspondiente expansión asintótica:

 

Funciones generatricesEditar

Una función generatriz que indexa los números armónicos es

 

donde   es el logaritmo natural. Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:

 

donde   es la integral exponencial entera. Nótese que

 

donde   es la función gamma incompleta.

AplicacionesEditar

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma:

 

Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque

 

este converge más rápidamente.


En 2001 Jeffrey Lagarias probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:

 

es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n) denota la suma de los divisores de n.

GeneralizacionesEditar

Números armónicos generalizadosEditar

Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:

 

Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.

Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:

 

El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.

 

En el límite, cuando  , los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.

 

Al igual que en la suma   aparecen los números de Bernoulli, en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling.

Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:

 

donde   es el polilogaritmo, and  . La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.

Generalización al plano complejoEditar

De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:

 

la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales. Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton:

 

concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma, así:

 

donde ψ(x) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni. El proceso de integración se puede repetir para obtener

 

ReferenciasEditar

Enlaces externosEditar