Producto (teoría de categorías)

concepto en teoría de categorías

En teoría de categorías, el producto de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como producto cartesiano de conjuntos, el producto directo de grupos, producto directo de anillos, el producto de espacios topológicos entre otros. Esencialmente el producto de una familia de objetos es el "más general" de los objetos que admite morfismos a cada uno de los objetos dados.

DefiniciónEditar

Sea   una categoría,   y   objetos de  . Un objeto   es el producto de   y  , denotado   si y solo si satisface la siguiente propiedad universal

Existe morfismos  , llamadas proyecciones canónicas o proyecciones tal que para cualquier otro objeto   y un par de morfismos   existe un único morfismo   tal que el siguiente diagrama conmuta:

El único morfismo   recibe el nombre de morfismo producto de   y   y se denota por  .

Se acaba de definir el producto binario. En lugar de dos objetos considere una familia arbitraria de objetos indicada por algún conjunto  . Entonces obtenemos la definición de un producto.

Un objeto   es el producto de una familia   de objetos si y solo si existen morfismos  , tal que para cualquier otro objeto   y una familia de morfismos   indizados por   existe un único morfismo   tal que el siguiente diagrama conmuta para cualquier  

El producto se denota como  ; si  , entonces se denota como   y el morfismo producto como  .

De forma alterna, el producto puede ser definido totalmente mediante ecuaciones, aquí esta un ejemplo para el producto binario:

  • La existencia de   se garantizada por la operación  .
  • La conmutatividad de los respectivos diagramas está garantizada por la igualdad  .
  • La Unicidad de   es garantizada por la igualdad  .[1]

También el producto puede ser obtenido a partir del límite. Una familia de objetos es un diagrama sin morfismos. Si consideramos nuestro diagrama como un funtor, entonces es un funtor desde   considerada como una categoría discreta. Entonces la definición de producto coincide con la definición de cono límite para este funtor.

EjemplosEditar

En la categoría Set (la categoría de conjuntos) el producto para la categoría es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos Xi el producto es definido como

 

con las proyecciones

 

Dado cualquier otro conjunto Y con una familia de funciones :  la flecha universal f se define como

 
  • En la categoría de módulos sobre algún anillo R, el producto categórico está dado por el producto directo de módulos.
  • En la categoría de grupos el producto categórico está dado por el producto cartesiano con la multiplicación definida componente a componente.
  • Un conjunto parcialmente ordenado puede ser considerado como una categoría, usando la relación de orden como los morfismos. En este caso los productos y coproductos son los ínfimos y supremos del conjunto respectivamente

DiscusiónEditar

El producto no necesariamente existe; por ejemplo considere una familia infinita de espacios métricos como   and  , no existe tal cosa como el producto métrico de ellos.

Una categoría en donde para cualquier conjunto finito de objetos existe su producto entonces es llamada categoría cartesiana

Supongamos que   es una categoría cartesiana y   denota el objeto final de la categoría  . Entonces tenemos los siguientes isomorfismos naturales.

 
 
 

Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene productos finitos forma una categoría simétrica monoidal

DistributividadEditar

En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×ZX×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama:

La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×ZX×(Y+Z),. Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Lambek J., Scott P. J. (1988). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press. p. 304. 

Enlaces externosEditar