Monoide

estructura algebraica

En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formalEditar

Un monoide   es una estructura algebraica en la que   es un conjunto y   es una operación binaria interna en  :

 

Que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):[1]

  1. Operación interna: para cualquiera de los dos elementos del conjunto A operados bajo  , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:
     
  2. Asociatividad: para cualquier elemento del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:
     
  3. Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación  , es decir:
     

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

ConmutatividadEditar

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna   si:

 

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

EjemplosEditar

Concatenación de cadenas alfanuméricasEditar

Dado un conjunto A de caracteres alfanuméricos, que llamaremos alfabeto, una cadena alfanumerica del alfabeto A es una secuencia de elementos de A en cualquier orden y de cualquier longitud, si tomas el conjunto como:

 

Cadenas del alfabeto[2]A, que representamos C(A) pueden ser:

 
 
 
 

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

 

Definimos la operación   de concatenación de cadenas del alfabeto A como:

 

que podemos representar, de las siguientes formas:

  •  
  •  

podemos ver que   tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas del alfabeto A su concatenación es una cadena de A:

 .

2.- Es asociativa:

 

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres de A, existe la cadena vacía   de A, de modo que:

 

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa:

 

Siendo a, b de C(A) la concatenación de a con b no es igual a la concatenación de b con a.

Luego la concatenación de cadenas alfanuméricas es un monoide no conmutativo.

Multiplicación de números naturalesEditar

Partiendo del conjunto de los números naturales:

 

y la operación multiplicación, podemos ver que:   es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

 .

2.- Es asociativa:

 

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N, es neutro para todos los números naturales ya que cumple:

 

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

 

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación:  , tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categoríasEditar

Definición como categoríaEditar

Un monoide también se puede ver como un tipo particular de categoría. Concretamente, un monoide se puede definir como una categoría con un único objeto.

Dados una categoría   y un objeto suyo  , todos los morfismos de   en   forman un conjunto  . Sobre este conjunto, la composición de morfismos define una operación binaria interna. Debido a los axiomas de la teoría de categorías, la composición de morfismos es asociativa y debe existir un morfismo identidad  , por lo que el conjunto   equipado con la composición de morfismos constituye un monoide.

De esta forma, toda categoría con un único objeto   da lugar a un monoide al tomar el conjunto de morfismos  . También es posible ir en la dirección opuesta y definir, a partir de un monoide  , una categoría con un único objeto   tal que  , justificando así la definición alternativa de monoide en términos de categorías.

Categoría monoidalEditar

Una categoría monoidal es una categoría  , equipada con un bifuntor  , que satisface propiedades análogas a las de la operación binaria en un monoide. Dos ejemplos son:

  1. La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
  2. La categoría   de los espacios vectoriales sobre un cuerpo   junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a   como el elemento neutro.

Véase tambiénEditar

Grupo
Monoide
Semigrupo
Magma
Conjunto
Ley de composición
Interna
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico

ReferenciasEditar

  1. Álgebra (1971) Lang, Serge, versión española de Milagros Ancoche ISBN 84-03-20216-4; pg.3
  2. Hernández Rodríguez, Leonardo Alonso; Jaramillo Valbuena, Sonia; Cardona Torres, Sergio Augusto (2010). «2.1.2». Practique la teoría de autómatas y lenguajes formales. Ediciones Elizcom. p. 8. ISBN 978-958-44-7913-6. 

BibliografíaEditar

  1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando. Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3. 

Enlaces externosEditar