Variedad algebraica

En geometría algebraica, una variedad algebraica es esencialmente un conjunto de puntos (finito o infinito) en los cuales un polinomio (de una o más variables) toma un valor cero, o en el cual un conjunto de tales polinomios toma un valor cero. Las variedades algebraicas son uno de los objetos centrales de estudio de la geometría algebraica clásica (y en ciertos aspectos moderna).

La cúbica torcida es una variedad algebraica proyectiva.

Desde un punto de vista histórico, el teorema fundamental del álgebra estableció la relación entre el álgebra y la geometría al indicar que un polinomio de una variable en los números complejos queda determinado por su conjunto de raíces, que es un objeto geométrico inherente. Construyendo sobre este resultado, el Teorema de los ceros de Hilbert establece una correspondencia fundamental entre los ideales de los anillos de polinomios y los subconjuntos del espacio afín. Utilizando el teorema de ceros y sus resultados asociados, es posible capturar la noción geométrica de una variedad en términos algebraicos como también hacer que la geometría entienda sobre temas de la teoría de anillos.

DefiniciónEditar

Sea   un cuerpo. Sea   el anillo de polinomios en las variables   y coeficientes en el cuerpo  . Sea  . Se define la variedad afín determinada por   (denotada por  ) al conjunto:

 .

Es decir, V(S) representa el conjunto de puntos del espacio afín   en los que se anulan todos los polinomios de  .

Existencia de variedades algebraicas abstractas no-cuasiproyectivasEditar

Uno de los primeros ejemplos de una variedades algebraicas no-cuasiproyectiva fue provisto formulado por Nagata.[1]​ El ejemplo de Nagat no era completo (el análogo de compacticidad), pero poco después Nagata encontró una superficie algebraica que era completa y no-proyectiva.[2][3]​ Desde entonces se han encontrado otros ejemplos; por ejemplo, it is straightforward to construct a variedad tórica que no es cuasi-proyectiva pero si completa.[4]

ReferenciasEditar

  1. Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Nagata56
  2. Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Nagata57
  3. Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Hartshorne
  4. En la página 65 de Fulton, William (1993), Introduction to toric varieties, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00049-7 ., una nota describe una variedad tórica completa que tiene un paquete de línea no trivial; por lo que en particular, no posee paquete de línea amplio.

BibliografíaEditar