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Progresión geométrica

sucesión de números reales en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo el término en cuestión, el primer término y , la razón:

En el ejemplo anterior, el sexto elemento de la serie sería:

Que se puede verificar multiplicando el último término por la razón:

Para obtener la razón de una progresión geométrica solo se divide un término cualquiera entre el término anterior, o sea:

Ejemplos de progresiones geométricasEditar

  • La progresión 1, 2, 4, 8, 16, ... es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40, ...
  • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875, ... es una progresión geométrica con razón 1/4.
  • La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
  • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7, ...
  • Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga; el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanoi. [1]

Definición recursivaEditar

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica ( ) definida por las condiciones

 

llamada ecuación recursiva de orden 1 [2]​(  ),   (  es la razón de la progresión geométrica) [3]

Suma de términos de una progresión geométricaEditar

Suma de los n primeros términos de una progresión geométricaEditar

 
Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Se denomina como   a la suma de los   primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

 

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión  .

 
 

puesto que  

 

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

 

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando  :

 

De esta manera se obtiene la suma de los   términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión   como:

 

que expresa la suma de   términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios  y  (ambos incluidos):

 


Suma de infinitos términos de una progresión geométricaEditar

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad  , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si  ,   tiende hacia 0, de modo que:

 

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

 ,  

Caso notableEditar

Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.

Producto de los primeros n términos de una progresión geométricaEditar

El producto de los   primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

  (si  ).

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón   (si  ), están en progresión aritmética de diferencia  , se tiene:

  ,

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Matemáticas recreativas de Perelman
  2. Markushévich: Sucesiones recurrentes
  3. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales Euro-Omega, Madrid -Moscú /1995

Enlaces externosEditar

  • Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica». Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • Sum of Geometric Progression Calculator