Progresión geométrica

sucesión de números reales en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Si se denota por al término que ocupa la posición de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero () y de la razón () mediante la siguiente fórmula llamada término general:

RazónEditar

La razón se calcula dividiendo un término entre el término anterior:

 

Ejemplos de progresiones geométricasEditar

Definición recursivaEditar

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica ( ) definida por las condiciones

 

llamada ecuación recursiva de orden 1 [2]​(  ),   (  es la razón de la progresión geométrica) [3]

MonotoníaEditar

Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior ( ), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior ( ), constante cuando todos los términos son iguales ( ) y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando  ).[4]

Monotonía en función del primer término,  , y de la razón,  :[5]

    creciente
  decreciente
    decreciente
  creciente
  constante
  alternada

Suma de términos de una progresión geométricaEditar

Suma de los n primeros términos de una progresión geométricaEditar

Se denota por   a la suma de los   primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

 

Se puede calcular esta suma a partir del primer término   y de la razón   mediante la fórmula

 
Sea
 

Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión  .

 
 

puesto que  

 

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

 

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando  :

 

De esta manera se obtiene la suma de los   términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión   como:

 

que expresa la suma de   términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

 
Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios  y  (ambos incluidos):

 


Suma de infinitos términos de una progresión geométricaEditar

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad  , la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si  ,   tiende hacia 0, de modo que:

 

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

 ,  

Caso notableEditar

Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.

Producto de los primeros n términos de una progresión geométricaEditar

El producto de los   primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

  (si  ).

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón   (si  ), están en progresión aritmética de diferencia  , se tiene:

  ,

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Matemáticas recreativas de Perelman
  2. Markushévich: Sucesiones recurrentes
  3. Vodney y otros: Fórmulas matemáticas fundamentales Euro-Omega, Madrid -Moscú /1995
  4. Sapiña, R. «Problemas resueltos de progresiones geométricas». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 15 de mayo de 2020. 
  5. Llopis, José L. «Sucesiones o progresiones geométricas». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 15 de mayo de 2020. 

Enlaces externosEditar

  • Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  • Sum of Geometric Progression Calculator