Cada uno de los cuadrados púrpuras tiene 1/4 del área del cuadrado anterior más grande (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados púrpuras es 1/3 del área de todo el cuadrado grande.
En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre sus términos sucesivos permanece constante.
Por ejemplo la serie
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
+
1
2
n
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots \,+\,{\frac {1}{2^{n}}}\,+\,\cdots }
es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica , es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón común r
Si
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1\ }
Si
|
r
|
>
1
{\displaystyle |r|>1\ }
La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Para
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
n+1 términos de una serie geométrica es:
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
=
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
1
−
r
n
+
1
1
−
r
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}}
donde a es el primer término de la serie y r la razón común.
Demostración
Sea
s
n
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
.
Entonces
r
s
n
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
⋯
+
a
r
n
+
1
.
Así
s
n
−
r
s
n
=
s
n
(
1
−
r
)
=
a
−
a
r
n
+
1
,
por lo tanto
s
n
=
a
1
−
r
n
+
1
1
−
r
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Sea }}s_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}.\\[4pt]&{\text{Entonces }}rs_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots +ar^{n+1}.\\[4pt]&{\text{Así }}s_{n}-rs_{n}=s_{n}(1-r)=a-ar^{n+1},{\text{ por lo tanto }}s_{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}}
Dada la serie geométrica:
s
=
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
⋯
{\displaystyle s\;=\;1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,\cdots }
La razón común de esta serie es
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
Así la suma de los primeros 10 términos de la serie es:
s
10
=
a
1
−
r
n
1
−
r
=
1
1
−
1
2
10
1
−
1
2
=
1
−
1
1024
1
−
1
2
=
1023
1024
1
2
=
2046
1024
=
1023
512
{\displaystyle s_{10}\;=\;a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}\;=\;1{\frac {1-{\frac {1}{2}}^{10}}{1-{\frac {1}{2}}}}\;=\;{\frac {1-{\frac {1}{1024}}}{1-{\frac {1}{2}}}}\;=\;{\frac {\frac {1023}{1024}}{\frac {1}{2}}}\;=\;{\frac {2046}{1024}}\;=\;{\frac {1023}{512}}}
≈
1.99804687
{\displaystyle \approx 1.99804687\ }
s
10
≈
2
{\displaystyle s_{10}\approx 2\ }
La serie geométrica real de término inicial
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
r
∈
R
{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1}
∑
n
=
0
∞
a
r
n
=
a
1
−
r
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}}
Demostración
∑
n
=
0
∞
a
r
n
=
a
+
∑
n
=
1
∞
a
r
n
=
a
+
r
∑
n
=
0
∞
a
r
n
,
despejando a
∑
n
=
0
∞
a
r
n
de la ecuación anterior se obtiene:
∑
n
=
0
∞
a
r
n
−
r
∑
n
=
0
∞
a
r
n
=
a
(
1
−
r
)
∑
n
=
0
∞
a
r
n
=
a
,
finalmente
∑
n
=
0
∞
a
r
n
=
a
1
−
r
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=a+\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n}=a+r\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n},\\[4pt]&{\text{despejando a }}\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}{\text{ de la ecuación anterior se obtiene:}}\\[4pt]&\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}-r\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=a\\[4pt]&(1-r)\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=a,\\[4pt]&{\text{finalmente }}\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}}
Dada la serie geométrica:
s
=
1
+
2
3
+
4
9
+
8
27
+
⋯
{\displaystyle s\;=\;1\,+\,{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,\cdots }
La razón común de esta serie es
r
=
2
3
{\displaystyle r={\frac {2}{3}}}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
s
=
a
1
−
r
=
1
1
−
2
3
=
1
1
3
=
3
{\displaystyle s\;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\;=\;{\frac {1}{\frac {1}{3}}}\;=\;3}
s
=
3
{\displaystyle s=3\ }
Este resultado se puede utilizar para evaluar cualquier serie geométrica convergente.
Véase también Editar
Enlaces externos Editar 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Sea }}s_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}.\\[4pt]&{\text{Entonces }}rs_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots +ar^{n+1}.\\[4pt]&{\text{Así }}s_{n}-rs_{n}=s_{n}(1-r)=a-ar^{n+1},{\text{ por lo tanto }}s_{n}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1191c9779661e835407d40cb48f9be0dc15c81eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=a+\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n}=a+r\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n},\\[4pt]&{\text{despejando a }}\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}{\text{ de la ecuación anterior se obtiene:}}\\[4pt]&\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}-r\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=a\\[4pt]&(1-r)\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=a,\\[4pt]&{\text{finalmente }}\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88fdcc7720b7efa2e84f0443d2bd52d0e15d6e1c)
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