Serie geométrica
En matemáticas, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre sus términos sucesivos permanece constante.
Por ejemplo, la serie
es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por .
Razón comúnEditar
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón común :
- Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
- Si los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.
SumaEditar
La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
FórmulaEditar
Para , la suma de los primeros términos de una serie geométrica es:
donde es el primer término de la serie y la razón común.
DemostraciónEditar
Sea
si multiplicamos ambos lados de la igualdad por entonces
realizando
por lo que
como entonces
EjemploEditar
Dada la serie
La razón común es y el primer término es , por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde , hasta ) es:
ConvergenciaEditar
La serie geométrica real de término inicial no nulo y de razón es convergente si y solo si . En tal caso, su suma vale:
DemostraciónEditar
Notemos que
despejando de la ecuación anterior obtenemos
como entonces
En particular cuando
EjemploEditar
Dada la serie:
La razón de esta serie es , por el resultado anterior
por lo que .
Véase tambiénEditar
ReferenciasEditar
- Weisstein, Eric W. «Geometric Series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- geometric series en PlanetMath.
Enlaces externosEditar
- Wikilibros alberga contenido sobre Series.