Serie geométrica

En matemáticas, una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tiene una razón constante entre sus términos sucesivos. Por ejemplo, la serie

Cada uno de los cuadrados púrpuras tiene 1/4 del área del cuadrado anterior más grande (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados púrpuras es 1/3 del área de todo el cuadrado grande.

es geométrica porque cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por .

En general, una serie geométrica es escrita como

donde es el coeficiente de cada término y es la razón entre cada término sucesivo.

Las series geométricas son las series infinitas más simples y pueden ser utilizadas como una introducción básica a las series de Taylor y series de Fourier.

Razón comúnEditar

Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.

El comportamiento de los términos depende de la razón común  :

  • Si   los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
  • Si   los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.

SumaEditar

 
Ilustración de una suma autosimilar.

La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.

FórmulaEditar

Para  , la suma de los primeros   términos de una serie geométrica es:

 

donde   es la razón común.

Cuando   entonces la expresión anterior se reduce a

 

DemostraciónEditar

Sea

 

si multiplicamos ambos lados de la igualdad por   entonces

 

realizando  

 

por lo que

 

como   entonces

 

De esta manera:

 

EjemploEditar

Dada la serie

 

La razón es   y el primer término es  , por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde  , hasta  ) es:

 

ConvergenciaEditar

Sean   entonces la serie

 

converge y su suma es

 

si  .

DemostraciónEditar

Notemos que

 

despejando de la ecuación anterior   obtenemos

 

como   entonces

 

En particular cuando  

 

EjemploEditar

Dada la serie:

 

La razón de esta serie es  , por el resultado anterior

 

por lo que  .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

Enlaces externosEditar