Serie geométrica

En matemáticas, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre sus términos sucesivos permanece constante.

Cada uno de los cuadrados púrpuras tiene 1/4 del área del cuadrado anterior más grande (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados púrpuras es 1/3 del área de todo el cuadrado grande.

Por ejemplo, la serie

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por .

Razón comúnEditar

Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.

El comportamiento de los términos depende de la razón común  :

  • Si   los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
  • Si   los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.

SumaEditar

 
Ilustración de una suma autosimilar.

La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.

FórmulaEditar

Para  , la suma de los primeros   términos de una serie geométrica es:

 

donde   es el primer término de la serie y   la razón común.

DemostraciónEditar

Sea

 

si multiplicamos ambos lados de la igualdad por   entonces

 

realizando  

 

por lo que

 

como   entonces

 

EjemploEditar

Dada la serie

 

La razón común es   y el primer término es  , por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde  , hasta  ) es:

 

ConvergenciaEditar

La serie geométrica real de término inicial   no nulo y de razón   es convergente si y solo si  . En tal caso, su suma vale:

 

DemostraciónEditar

Notemos que

 

despejando de la ecuación anterior   obtenemos

 

como   entonces

 

En particular cuando  

 

EjemploEditar

Dada la serie:

 

La razón de esta serie es  , por el resultado anterior

 

por lo que  .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

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