Prueba M de Weierstrass

En matemáticas, la prueba M de Weierstrass o criterio mayorante de Weierstrass es un criterio para comprobar la convergencia uniforme de una serie de funciones de variable real o compleja.

Enunciado

Prueba M de Weierstrass Sea $\{f_{n}\}$ una sucesión de funciones de variable real o compleja definidas en un conjunto $A$. Si para cada $n\in \mathbb {N}$ existe un $M_{n}\geq 0$ tal que $|f_{n}(x)|\leq M_{n}\,\forall x\in A$ y la serie $\sum _{n\geq 1}M_{n}$ converge, entonces la serie $\sum _{n\geq 1}f_{n}$ converge uniformemente en $A$.

Demostración

Para cada $x\in A$, la serie $\sum _{n\geq 1}|f_{n}(x)|$ converge, según el criterio de comparación. En consecuencia, $\sum _{n\geq 1}f_{n}(x)$ converge (absolutamente) para todo $x\in A$. Llamemos $F(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }f_{n}(x)\,\forall x\in A$ al límite puntual de la serie. Recordemos que para probar que la serie $\sum _{n\geq 1}f_{n}$ converge uniformemente a $F$ en $A$ tenemos que probar que la sucesión de sumas parciales $\{S_{n}\}=\{\sum _{i=1}^{n}f_{i}\}$ (que en este caso es una sucesión de funciones) converge uniformemente a $F$ en $A$. Para esto podemos ver que la sucesión $\rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x)|:x\in A\}$ converge a $0$. Para cada $x\in A$, tenemos: $\left|F(x)-S_{m}(x)\right|=\left|F(x)-\left(\sum _{i=1}^{m}f_{i}(x)\right)\right|=\left|\sum _{n=m+1}^{+\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}$ Por tanto, $\rho _{n}=\sup\{|F(x)-S_{n}(x):x\in A\}\leq \sum _{n=m+1}^{+\infty }M_{n}\rightarrow 0$. Por tanto, $\sum _{n\geq 1}f_{n}$ converge uniformemente a $F$ en $A$.

Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se mantiene si el codominio de las funciones $\{f_{n}\}$ es cualquier espacio de Banach, en cuyo caso la afirmación $|f_{n}|\leq M_{n}$ puede ser reemplazada por $\|f_{n}\|\leq M_{n}$, donde $\|\cdot \|$ es la norma definida en el espacio de Banach.

Véase también

• Límite de una sucesión
• Serie convergente

Referencias

• Marsden Jerrold, Hoffman Michael, Análisis clásico elemental, W.H Freeman and Company, 1993.
• Rudin, Walter (enero de 1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8. 
• Rudin, Walter (mayo de 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. 
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.

• Datos: Q1072412