Serie convergente

concepto en matemática

En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

Definición formalEditar

Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial formado).

La serie de término general   converge cuando la sucesión   de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,

 .

En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales

 .

La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.

EjemplosEditar

Resultan convergentes las series de las secuencias:

  • de los recíprocos de los enteros impares, con signos alternados  , conocida como Serie de Leibniz:
     ;
  • de los recíprocos de los números triangulares:
     ;
  • de los recíprocos de los sucesivos factoriales (n!):
     ;
  • de los recíprocos de los sucesivos cuadrados perfectos (ver Problema de Basilea):
     ;
  • de los recíprocos de las potencias de 2:
     ;
  • de los recíprocos de las potencias de 2 con signos alternados:
     ;
  • de los recíprocos de los números de Fibonacci (ver Constante de los inversos de Fibonacci):
     ;
  • de los de recíprocos de los naturales con signos alternados  :
     .

Resultan divergentes las series de las secuencias:

  • de los de recíprocos de los naturales  :
     

(es la conocida como serie armónica);

  • de los recíprocos de los números primos (  ):
     .

Convergencia absolutaEditar

Si   es una serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente convergente si la serie de término general   es convergente.

En este caso, la serie   converge.

La convergencia absoluta resulta de gran interés para el estudio de series con valores en un espacio de Banach (ese es el caso de las series numéricas), donde es suficiente la convergencia absoluta de la serie para probar que es convergente. Esta técnica permite en muchos casos restringir el estudio a las series de términos positivos; para los cuales existen numerosos métodos.

Criterios de convergenciaEditar

  • Criterio del límite: sea  esta no convergerá si   o si no existe dicho límite.

Series de reales positivosEditar

  • Criterio de d'Alembert (Criterio del cociente o Criterio de la razón): sea   una serie de términos estrictamente positivos; si
 ,

entonces el Criterio de D'Alembert establece que si

 , la serie converge, 
 , la serie no converge, 
 , la serie no converge, 
  el criterio no establece nada respecto a su convergencia.
  • Criterio de la raíz: si los términos   son estrictamente positivos y si existe una constante   tal que   , entonces   es convergente.
  • Criterio de Raabe: sea una serie  , tal que   (serie de términos positivos). Si existe el límite
 , siendo  

entonces, si   la serie es convergente y si   la serie es divergente. (Nota: el Criterio de Raabe es recomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert).

  • Criterio de la integral de Cauchy: si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo

[1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces   converge si y sólo si   es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

 

converge si y sólo si la integral

 

converge.

Otros métodosEditar

  • Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy:
 .
  • Criterio de condensación de Cauchy: sea   una serie monótona de números positivos decrecientes. Entonces   converge si y sólo si la serie   converge.
  • Criterio de Leibniz: una serie de la forma   (con  ) se llama serie alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a)   para n par y n impar.

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que:  .

Si esto se cumple, la serie   es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de   antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativosEditar

Son aplicables en caso de disponer de otra serie   tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.

Criterio de comparación directaEditar

(de la mayorante o de Gauss)

Si  

  • Si   converge   converge
  • Si   diverge   diverge

En otro caso no existe información de la serie.

Criterio de comparación por paso al límite del cocienteEditar

Sean   y   series de términos no negativos. Si existe

 , entonces:

  • Si   y la serie   converge entonces   converge.
  • Si   y   diverge entonces   diverge.
  • Si   entonces las series   y   comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Teorema de AbelEditar

Sea   una serie compleja donde   tales que:

  • La sucesión   es real, decreciente y tiende a 0.
  •   tal que  .

Entonces   es convergente.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

Enlaces externosEditar