Segmento circular

En geometría, un segmento circular (o segmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Un segmento circular (en verde) está delimitado por una cuerda (línea discontinua) y el arco que toca los extremos de la cuerda (el arco mostrado sobre el área verde).

Sea R el radio del círculo, θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita) , y d la altura de la porción triangular (apotema).

• El radio del círculo

es $R=h+d{\frac {}{}}$

• La longitud del arco es $s=R\cdot \theta$, donde $\theta \,$ está en radianes.

• La longitud de la cuerda es $c=2R\operatorname {sen} \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\displaystyle R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=R{\sqrt {2\left(1-\cos \theta \right)}}$

• La altura es $h=R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$

• El ángulo es $\theta =2\arccos \left({\frac {d}{R}}\right)$

Área

El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.

$A=R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {R^{2}\operatorname {sen} \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)$

Si el ángulo está en radianes.

Área en función de una altura $h_{L}$ en caso de un cilindro horizontal con un nivel de agua $h_{L}$:

$d=-h_{L}+R$

$\theta =2\arccos \left({\frac {-h_{L}+R}{R}}\right)=2\arccos \left(1-{\frac {h_{L}}{R}}\right)$

Demostración alternativa

El área del sector circular es: $A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}$

Si se bisecciona el ángulo $\theta$, y por tanto la porción triangular, se obtienen dos triángulos con área total:

$R\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}$

Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen

$A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$

De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble $\operatorname {sen} 2\theta =2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \,$, por lo tanto:

$\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta$

con lo que resulta que el área es:

$A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)$

Véase también

• Sector circular
• Casquete esférico – análogo tridimensional
• Arco
• Sección cónica
• Sección (matemática)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Segmento circular». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Definición de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)
• Fórmula para el área de un segmento circular con animación interactiva (en inglés)

• Datos: Q783081
• Multimedia: Circle segments / Q783081