Sistema hamiltoniano superintegrable

En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica de dimensión $2n$ en el que se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Existen $k>n$ integrales de movimiento $F_{i}$ independientes. Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada $F:Z\to N=F(Z)$ sobre un subconjunto abierto y conexo $N\subset \mathbb {R} ^{k}$.

(ii) Existen funciones reales diferenciables $s_{ij}$ en $N$ tales que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se expresa como $\{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F$.

(iii) La función matricial $s_{ij}$ es de corrango constante $m=2n-k$ en $N$.

Si $k=n$, el sistema es completamente integrable. El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold para las coordenadas de acción-ángulo en sistemas completamente integrables como sigue.

Supongamos que las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable son conexas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrada $F$ es un fibrado en el toro $T^{m}$. Existe un entorno abierto $U$ de $F$ que es un fibrado trivial dado con las coordenadas de acción-ángulo generalizadas $(I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})$, $A=1,\ldots ,m$, $i=1,\ldots ,n-m$ tal que $(\phi ^{A})$ son coordenadas en $T^{m}$. Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica $U$. El hamiltoniano de un sistema superintegrable solo depende de las variebles de acción $I_{A}$ que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en $F(U)$.

El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas, que son difeomorfas al cilindro toroidal $T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}$.

Véase también

• Sistema hamiltoniano integrable
• Coordenadas de acción-ángulo
• Mecánica de Nambu
• Vector de Runge-Lenz

Referencias

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113. doi 10.1007/BF01076254
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arΧiv:math-ph/0109031.
• Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and perturbations, Acta Appl. Math. 87(2005) 93. doi 10.1007/s10440-005-1139-8
• Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arΧiv:math/0610790.
• Miller, W., Jr, Post, S., Winternitz P., Classical and quantum superintegrability with applications, J. Phys. A 46 (2013), no. 42, 423001, doi 10.1088/1751-8113/46/42/423001 arΧiv:1309.2694
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363 (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última)..

• Datos: Q7643453