Superficie de Catalan

En geometría, una superficie de Catalan, llamada así por el matemático belga Eugène Charles Catalan, es una superficie reglada cuyas reglas son todas paralelas a un plano fijo.

Una superficie de Catalan.

Ecuaciones

La ecuación vectorial de una superficie de Catalan viene dada por

r = s(u) + v L(u),

donde r = s(u) es la curva espacial y L(u) es el vector unitario de la regla en u = u. Todos los vectores L(u) son paralelos al mismo plano, llamado plano directriz de la superficie. Esto se puede caracterizar por la condición: el producto mixto [L(u), L' (u), L" (u)] = 0.[1]

Las ecuaciones paramétricas de la superficie de Catalan son [2]

$x=f(u)+vi(u),\quad y=g(u)+vj(u),\quad z=h(u)+vk(u)\,$

Casos especiales

Si todos las reglas de una superficie de Catalan se cruzan con una línea fija, entonces la superficie se llama conoide.

Catalán demostró que el helicoide y el plano eran las únicas superficies mínimas regladas.

Referencias

• A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 3rd ed. Boca Raton, Florida:CRC Press, 2006. [3] (ISBN 978-1-58488-448-4)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Superficie de Catalan», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• V. Y. Rovenskii, Geometry of curves and surfaces with MAPLE [4] (ISBN 978-0-8176-4074-3)